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第三节第三节 坐坐 标标 系系知识梳理 一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 :Error!的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换 二、极坐标系的概念二、极坐标系的概念 1极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单 位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立 了一个极坐标系 注意:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直 角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系 内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可但 极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 2极坐标 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐 标,记作M(,) 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意 实数 特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(R R), 和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点 可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示 的点也是唯一确定的 三、极坐标和直角坐标的互化三、极坐标和直角坐标的互化 1互化条件:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半 轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:2.互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标 是(x,y),极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标 的互化公式如表: 点M直角坐标(x,y)极坐标(,) 互化公 式Error!Error!在一般情况下,由 tan 确定角时,可根据点M所在的象 限取最小正角 四、常见曲线的极坐标方程四、常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆r(02)圆心为(r,0),半径为r的圆2rcos ( 22)圆心为,半径为r的(r, 2) 圆2rsin (0)过极点,倾斜角为的直线(1)(R R)(2)(0)和 (0)过点(a,0),与极轴垂直的直 线cos a( 22)过点,与极轴平行的(a, 2) 直线sin a(0)基础自测 1在极坐标系中,圆C:10cos 和直线 l:3cos 4sin 300 相交于A,B两点,则线段 AB的长是_解析:解析:分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方 程:圆C:x2y210x,即(x5)2y225,圆心C(5,0)直 线l:3x4y300.因为圆心C到直线l的距离d3.所以|15030| 5 |AB|28.25d2 答案:答案:82在极坐标系中,过圆4cos 的圆心,且垂直于极 轴的直线的极坐标方程是_解析:解析:圆的直角坐标方程为x2y24x0,圆心为(2,0), 过该点的直线的极坐标方程为cos 2. 答案:答案:cos 23(2013广州二模)在极坐标系中,已知点A,点(1, 2) P是曲线sin2 4cos 上任一点,设点P到直线cos 10 的距离为d,则|PA|d的最小值为_解析:解析:sin2 4cos 的直角坐标方程为y24x,它 是抛物线,焦点为F(1,0),准线为x10,即直线cos 10,点A是直角坐标为A(0,1)根据抛物线的定(1,2) 义,d|PF|,所以|PA|d|PA|PF|AF|.2 答案:答案: 24已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos 3,4cos 0,0,则曲线C1,C2交点的极 2 坐标为_解析:解析:联立解方程组Error! 0,0,解得Error! 2即两曲线的交点为 2,.3 6答案:答案:2,3 61(2013北京卷)在极坐标系中,点到直线sin (2, 6) 2 的距离等于_解析:解析:极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(2, 6) (,1),极坐标系直线sin 2 对应直角坐标系中直线方3 程为y2,所以点到直线y2 的距离为d1. 答案:答案:12(2013天津卷)已知圆的极坐标方程为4cos ,圆心为C,点P的极坐标为,则(4, 3)|CP|_.解析:解析:由4cos 得:24cos ,化为直角坐 标方程得x2y24x,即(x2)2y24,圆心C(2,0),点P的直角坐标为P(2,2)(4, 3)3 由两点间距离公式得|CP|2.3 答案:答案:231(2013深圳二模)在极坐标系中,已知两圆 C1:2cos 和C2:2sin ,则过两圆圆心的直线的 极坐标方程是_解析:解析:两圆的直角坐标方程分别为 x2y22x0,x2y22y0,两圆的圆心分别为(1,0), (0,1),过这两点的直线方程为xy10,化为极坐标方程 为cos sin 10. 答案:答案:cos sin 102(2013揭阳二模)在极坐标系中,O是极点,直线l过圆C:2cos的圆心C,且与直线OC垂直,则直2( 4) 线l的极坐标方程为_解析:解析:把2cos化为直角坐标方程为2( 4) x2y22x2y0,圆心C的坐标为(1,1),与直线OC垂直的 直线方程为xy20,化为极坐标方程为cos sin 20.(也可以写成cos( 4) 2) 答案:答案:cos sin 20(也可以写成cos ( 4) 2)
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