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第五节第五节 变量间的相关关系、统计案例变量间的相关关系、统计案例 1会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认 识变量间的相关关系 2了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系 数公式建立线性回归方程 3了解下列两种常用的统计方法,并能应用这些方法解决 一些实际问题 (1)独立检验:了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本 思想、方法及其简单应用 (2)回归分析:了解回归分析的基本思想、方法及其简单应 用 知识梳理 1散点图 (1)将变量所对应的点描出来,就组成了变量之间的一个图, 这种图为变量之间的_ (2)从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系, 这些点会有一个集中的大致趋势,这种趋势可用一条光滑的曲 线来近似,这种近似的过程称为曲线拟合 2相关关系 (1)从散点图上看,点散布在从左下角到右上角的区域内, 对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为_;点散 布在从左上角到右下角的区域内,两个变量的这种相关关系称 为_ (2)线性相关:从散点图上看,如果这些点从整体上看大致 分布在一条直线附近,则称这两个变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫做_ (3)若两个变量 x 和 y 的散点图中,所有点看上去都在某条 曲线(不是一条直线)附近波动,则称此相关是_的如 果所有的点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相 关的 3回归直线 (1)最小二乘法:如果有 n 个点: (x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接 近程度: y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn) 2,使得上式达到最小值的 x 就是我们要求的直线,这种 y b a 方法称为最小二乘法 (2)在回归直线方程 x 中, y b a b n i1 xixyiy n i1 xix2 , _,其中 , n i1 xiyinxy n i1 x2 inx2 a x x1x2xn ny . 叫做回归直线方程的斜率, 是直线在 y 轴上 y1y2yn n b a 的截距 4相关系数 ,用它来衡量两个变量间的 线性相关关系 (1)当 r0 时,表明两个变量_; (2)当 r0 时,表明两个变量_; (3)r 的绝对值越接近 1,表明两个变量的线性相关性 _;r 的绝对值越接近于 0,表明两个变量之间几乎不存 在线性相关关系通常当|r|0.75 时,认为两个变量有很强的 线性相关关系 当|r|0.3,0.75)时,相关性一般当|r|0,0.25时,相关性 较弱 5残差分析 (1)线性回归模型:ybxae 中,a,b 称为模型的未知 参数;e 称为随机误差 (2)残差平方和:对于样本点(xi,yi)(i1,2,n),Q (yi )称为残差平方和,Q 值越小,说明线性回归模型的拟 n i1y 合效果越好 (3)相关指数:用相关指数 R2来刻画回归的效果,公式是 R21.R2的值越大,说明残差平方和越小,也就 n i1 yiyi2 n i1 yiy2 是说模型拟合效果_ 6独立性检验 (1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类型,则这类 变量称为分类变量 (2)列出两个分类变量的频数表,称为列联表 (3)利用随机变量 K2来确定在多大程度上可以认为“两个分 类变量有关系”的方法称为两个分类变量的_ 22 列联表 y1y2总计 x1abab x2cdcd 总计 ac bd abc d 独立性检验公式 K2_. 1.散点图 2.1正相关 负相关 2回归直线 3非线性 相关 3.2o(y,sup6()bo(x,sup6(),4.1正相关 2负 相关 3越强 5.3越好 6.3独立性检验 f(nadbc2,abacbdcd) ,基础自测 1下列命题: 任何两个变量都具有相关关系; 圆的周长与该圆的半径具有相关关系; 某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系; 根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的; 两个变量间的相关关系可以通过回归直线,把非确定性 问题转化为确定性问题进行研究 其中正确的命题为( ) A B C D 答案:答案:C 2(2013武昌调研)通过随机询问 110 名性别不同的行人, 对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查, 得到如下的列表: 男女总计 走天桥402060 走斑马线203050 总计6050110 由 算得 K27.8. 110 40 3020 202 60 50 60 50 附表: P(K2k) 0.05 0 0.01 0 0.001 k 3.84 1 6.63 5 10.82 8 对照附表,得到的正确结论是( ) A有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有 关” B有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无 关” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过 马路的方式与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过 马路的方式与性别无关” 解析:因为 K27.86.635,所以有 99% 110 40 3020 202 60 50 60 50 以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” 答案:A 3(2012新课标全国卷)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)(n2,x1,x2,xn不全相等)的散点图中,若所 有样本点(xi,yi)(i1,2,n)都在直线 y x1 上,则这组 1 2 样本数据的样本相关系数为_ 解析:所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为 1. 答案:1 4调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮 食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有 线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: 0.254x0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 y 万元,年饮食支出平均增加_万元 解析: 由题意得 210.254(x1)0.321 y y 0.254x0.3210.254,即家庭年收入每增加 1 万元,年饮 食支出平均增加 0.254 万元 答案:0.254 1(2013湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四 个结论: y 与 x 负相关且 2 347x6 423; y y 与 x 负相关且 3 476x5 648; y y 与 x 正相关且 5.437x8.493; y y 与 x 正相关且 4.326x4.578. y 其中一定不正确的结论的序号是( ) A B C D 解析:回归方程中 x 的系数为正,不是负相关;方程 中的 x 的系数为负,不是正相关,所以一定不正确 答案:D 2某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样 调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的数据如下表所示: 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁401858 大于 40 岁152742 总计5545100 (1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄 有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名 大于 40 岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众年 龄为 20 至 40 岁的概率 解析:(1)有关收看新闻节目多为年龄大的 (2)应抽取的人数为:53(人) 27 45 (3)由(2)知,抽取的 5 名观众中,有 2 名观众年龄处于 20 至 40 岁,3 名观众的年龄大于 40 岁 记大于 40 岁的人为 a1,a2,a3,20 至 40 岁的人为 b1,b2, 则从 5 人中抽取 2 人的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3), (b1,b2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1), (a3,b2),共 10 个,其中恰有 1 人为 20 至 40 岁的基本事件有 (a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共 6 个,因此所求的概率 P . 6 10 3 5 1(2013梅州一模)在 2014 年 1 月 15 日当天,某物价部门 对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量价格进行调查,5 家 商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x99.5m10.511 销售量 y 11n865 由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关 关系,其线性回归直线方程是: 3.2x40,且 mn20, y 则其中的 n_. 解析: (99.5m10.511) (40m), x 1 5 1 5 (11n865) (30n) y 1 5 1 5 因为其线性回归直线方程是: 3.2x40, y 所以 (30n)3.2 (40m)40, 1 5 1 5 即 30n3.2(40m)200,又 mn20, 解得 mn10. 答案:10 2下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程 中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据: x3456 y2.5t44.5 根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 0.7x0.35,那么表中 t 的值为( ) y A3 B3.15 C3.5 D4.5 解析:由 0.7x0.35 得0.7 y 2.5t44.5 4 0.353.5t3,故选 A. 3456 4 11t 4 答案:A
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