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第二节第二节 函数的单调性与最大函数的单调性与最大( (小小) )值值1. 理解函数的单调性及其几何意义. 2. 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 3. 会求一些简单函数的值域. 4. 理解函数的最大值、最小值、及其几何意义.知识梳理知识梳理 1 1、函数单调性的定义函数单调性的定义二、证明函数单调性的一般方法二、证明函数单调性的一般方法 1定义法 用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是:(1)设 x1,x2_,且x10f(x)0,则f(x)在区间(a,b)上为增函数 (减函数);反之,若f(x)在区间(a,b)内为增函数(减函数), 则f(x)0f(x)0请注意两者的区别所在三、求函数单调区间的方法三、求函数单调区间的方法 定义法、导数法、图象法四、复合函数及其单调性四、复合函数及其单调性 1复合函数 设yf(u),uB,ug(x),xA,通过变量u,得到y 关于x的函数,那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的 _,记作_其中yf(u)叫做外函数,ug(x)叫 做内函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域的子 集2复合函数yf的单调性规律(gx)对于函数yf(u)和ug(x),如果ug(x)在区间(a,b) 上具有单调性,当x(a,b)时,u(m,n),且yf(u)在区 间(m,n)上也具有单调性,则复合函数yf(g(x)在区间 (a,b)具有单调性的规律见下表:yf(u)增 减 ug(x)增 减 增 减 yf(g(x)增 减 减 增 以上规律还可总结为:“同增异减” 五、函数的最大值、最小值五、函数的最大值、最小值一般地,设函数yf(x)的定义域为A,如果MR R,满足: (1)对xA,恒有f(x)M或f(x)M;(2) x0A,使得 f(x0)M,则称M是函数yf(x)的_六、求函数值域六、求函数值域( (最值最值) )的各种方法的各种方法 因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的,故 其类型依解析式的特点可分为三类:(1)求常见函数的值域;(2)求 由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些 “运算”而得函数的值域 无论用什么方法求函数的值域,都必须首先考虑函数的定 义域具体的方法有:直接法;配方法;分离常数法; 换元法;三角函数有界法;基本不等式法;单调性法; 数形结合法;导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去 解决)基础自测基础自测1下列函数中,在区间(0,)上不是增函数的是( ) Ay2x1 By3x21Cy Dy|x|2 x解析:由函数单调性定义知选 C.答案:C 2已知函数f(x)为 R R 上的减函数,则满足f(|x|)f(1) 的实数x的取值范围是( ) A(1,1) B(0,1) C(1,0)(0,1) D(,1)(1,)解析:f(x)为 R 上的减函数,且 f(|x|)f(1),|x|1,x1 或 x1.故选 D.答案:D3若函数f(x)x22xm在3,)上的最小值为 1, 则实数m的值为_解析:f(x)(x1) 2m1 在3,)上为单调增函数,且 f(x)在3,)上的最小值为 1,f(3)1,即 22m11,m2.答案:2 4一个矩形的周长为l,面积为S,给出:(4,1),(8,6),(10,8),.其中可作为(l,S)取得的实数(3,1 2) 对的序号是_解析:设矩形一边长为 x,则 Sx2 xl2xx2l22,(xl4)l216(0 x l2)检验知,满足答案:1(2013重庆卷)y (6a3)(3a)(a6) 的最大值为( )A9 B. C3 D.9 23 22解析:因为 y3aa6183aa2,(a32)2814所以当 a 时,y的值最大,最大值为 .323aa692答案:B2(2013大纲全国卷)若函数f(x)x2ax 在1 x是增函数,则a的取值范围是( )(1 2,) A1,0 B1,) C0,3 D3,)解析: f(x)2xa0 在上恒成立,即 a1x2(12,)2x 在上恒成立,由于 y2x 在 ,上单调1x2(12 ,)1x212递减,所以 y3,故只要 a3.答案:D1已知函数f(x)x24x在区间m,n上的值域是 5,4,则mn的取值范围是( ) A1,7 B1,6 C1,1 D0,6解析:f(x)x24x(x2)24,f(2)4.又由 f(x)5,得 x1 或 5.由 f(x)的图象知:1m2,2n5.因此 1mn7.答案:A2已知函数f(x)log2(x22xa)的值域为0,), 则正实数a等于( ) A1 B 2 C3 D4解析:依题意函数 g(x)x22xa 的值域为1,)g(x)x22xa(x1)2a1a1,a11,得a2.故选 B.答案:B
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