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第六节第六节 数列的综合问题数列的综合问题知识梳理 一、等差、等比数列的一些重要结论 1等差数列an中,若mnpq,则amanapaq. 2等比数列an中,若mnpq,则amanapaq. 3等差数列an的任意连续m项的和构成的数列 Sm,S2mSm,S3mS2m,S4m S3m,仍为等差数列 4等比数列an的任意连续m项的和构成的数列 Sm,S2mSm,S3mS2m,S4m S3m,仍为等比数列(m为偶数 且公比为1 的情况除外) 5两个等差数列an与bn的和、差构成的数列anbn, anbn仍为等差数列 6两个等比数列an与bn的积、商、倒数构成的数列anbn,仍为等比数列an bn 1 bn 7等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数 列 8等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数 列 9若an为等差数列,则(c0)是等比数列can10若bn(bn0)是等比数列,则logcbn(c0 且c1)是 等差数列 二、几个数成等差、等比数列的设法 三个数成等差的设法:ad,a,ad;四个数成等差的设 法:a3d,ad,ad,a3d.三个数成等比的设法: ,a,aq;四个数成等比的设法:a q在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用相 关知识解决相应的问题.,aq,aq3(因为其公比为q20,对于公比为负的情况不能a q3a q 包括) 三、用函数的观点理解等差数列、等比数列 1对于等差数列ana1(n1)ddn(a1d),当d0 时,an是关于n的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线上的 若干个离散的点;当d0 时,函数是单调增函数,对应的数列 是单调递增数列;当d0 时,函数是常数函数,对应的数列是 常数列;当d0 时,函数是减函数,对应的数列是单调递减数 列 若等差数列的前n项和为Sn,则 Snpn2qn(p,qR R)当p0 时,an为常数列;当p0 时, 可用二次函数的方法解决等差数列问题 2对于等比数列ana1qn1,可用指数函数的性质来理 解 当a10,q1 或a10,0q1 时,等比数列an是单调 递增数列; 当a10,0q1 或a10,q1 时,等比数列an是单调 递减数列; 当q1 时,是一个常数列; 当q0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列 四、数列应用的常见模型 1等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该 模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差 2等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 数时,该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比 3递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系 不固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an1的递推关系, 或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系基础自测 1设an,bn分别为等差数列与等比数列, a1b14,a4b41,则下列结论正确的是( ) Aa2b2 Ba3b3 Ca5b5 Da6b6解析:解析:设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d1, q,于是a23b22.故选 A.32232 答案:答案:A2设数列an的前n项和为Sn(nN N*),关于数列an有下 列三个命题: 若数列an既是等差数列又是等比数列,则anan1; 若Snan2bn(a,bR R),则数列an是等差数列; 若Sn1(1)n,则数列an是等比数列 这些命题中,真命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3解析:解析:不妨设数列an的前三项为ad,a,ad,则其 又成等比数列,故a2a2d2,d0,即anan1,为真命 题由Sn的公式,可求出an(2n1)ab,故an是等差数 列,为真命题由Sn可求出an2(1)n1,故数列an是 等比数列,为真命题故选 D. 答案:答案:D3在数列和中,bn是an与an1的等差中项,anbna12 且对任意nN N*都有 3an1an0,则数列的通项公bn式为 _.答案:答案:bn43n(nN N*)4. 一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存 2KB,然后每 3 分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后经过_分钟,该病毒占据 64MB 内存 (1MB210KB)解析:解析:依题意可知: a02,a122,a223,an2n1,64MB64210216KB, 令 2n1216,得n15.开机后 45 分钟该病毒占据 64MB 内存 答案:答案:451(2013福建卷)已知等比数列an的公比为q,记 bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,nN N*),则以下结论一定正确的是( ) A数列bn为等差数列,公差为qm B数列bn为等比数列,公比为q2m C数列cn为等比数列,公比为qm2 D数列cn为等比数列,公比为qmn解析:解析:bnam(n1)(qq2qm)qbn1 bnamnqq2qm amn1qq2qmamn amn1m(常数)而bn1bn不是常数又cn(am(n1)mq12mm,(amn1qm1 2)m(qm)mqm2(常数)而cn1cncn1 cn(amn amn1) 不是常数故选 C. 答案:答案:C2(2012江西卷)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN N*),且Sn的最大值为 8.1 2 (1)确定常数k,并求an;(2)求数列的前n项和Tn.92an 2n解析:解析:(1)当nkN N*时,Snn2kn取最大值,即 1 28k2k2k2,故 k4,从而1 21 2anSnSn1 n(n2)又a1S1 符合上式,9 27 2an n(nN N*)92(2)令bn,则Tnb1b2bn1 92an 2nn 2n12 2,3 22n1 2n2n 2n1Tn2TnTn21 41 21 2n2n 2n11 2n24.n 2n1n2 2n11(2013广州二模)数列an的项是由 1 或 2 构成,且首 项为 1,在第k个 1 和第k1 个 1 之间有 2k1 个 2,即数列 an 为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,记数列 an的前 n项和为Sn,则S20_; S2 013_.解析:解析:设f(k)2k1,则数列为 1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1, 所以前 20 项中共有 16 个 2,4 个 1,所以 S201624136. 记第k个 1 与其后面的k个 2 组成第k组,其组内元素个 数记为bk,则bk2k, b1b2bn242nn(n1)2 013, 而 46452 0802 011,47462 1622 013, 故n45 即前 2 011 项中有 45 个 1 以及 1 968 个 2,所以 S2 013451 96823 981. 答案:答案:36 3 9812已知数列an,bn中,对任何正整数n都有 a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1. (1)若数列bn是首项为 1 和公比为 2 的等比数列,求数列 an的通项公式(2)若数列an是等差数列,数列bn是否是等比数列?若 是,请求出通项公式;若不是,请说明理由(3)求证: .n i11 aibi3 2(1)解析:解析:依题意,数列bn的通项公式为bn2n1, 由a1b1a2b2a3b3an1bn1anbn(n1)2n1, 可得a1b1a2b2a3b3an1bn1(n2)2n11 ,(n 2)两式相减,可得anbnn2n1,即ann. 当n1 时,a11,从而对一切nN N*,都有ann. 所以数列an的通项公式是ann(nN N*) (2)解析:解析:(法一)设等差数列an的首项为a1,公差为d, 则ana1(n1)d. 由(1)得anbnn2n1,即bn.n2n1 a1n1d(n 2)bn.n2n1 a1dnd2n1 a1d nd要使是一个与n无关的常数,当且仅当a1d0,即bn1 bn 当等差数列an满足a1d0 时,数列bn是等比数列,其通项公式是bn;2n1 d 当等差数列an满足a1d时,数列bn不是等比数列 (法二)设等差数列an的首项为a1,公差为d,则 ana1(n1)d. 由(1)得anbnn2n1,即bn.n2n1 a1n1d(n 2) 若数列bn是等比数列,则,bn1 bn2dn2a1na1d dn2a1n要使上述比值是一个与n无关的常数,需且只需 a1d0,即当等差数列an满足a1d0 时,数列bn是等比数列,其通项公式是bn;2n1d 当等差数列an满足a1d时,数列bn不是等比数列 (3)证明:证明:由(1)知anbnn2n1,n i11 aibi1 1 11 2 21 3 221 4 23,1 n 2n1n i11 aibi1 1 11 2 21 2 221 2 23 1 2 2n11 11 41 8 ,1(12)n21121 11 41 432(n 3)当n1 时,1 ,1 a1b13 2当n2 时,1 ,1 a1b11 a2b21 45 43 2故 .n i11 aibi3 2
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