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第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和知识梳理 一、等差数列的概念 1定义:如果一个数列从第二项开始,每一项与前一项的 差都是同一个常数,那么这样的数列叫做等差数列,记作数列 ,首项记作a1,公差记作d.an2符号表示: an1and(nN N*) 二、通项公式 若数列为等差数列,则ana1(n1)dam(nm)d.an三、前n项和公式Snna1d.na1an2nn12 四、等差中项 如果三数a,A,b成等差数列,则A叫做a和b的等差中项,即A.ab 2 五、等差数列的判定方法 1定义法: an1and (常数)(nN N*)是等差数an列 2中项公式法: 2an1anan2(nN N*)是等差数an列 3通项公式法: anknb(k,b是常数)(nN N*) 是等差数列an4前n项和公式法:SnAn2Bn(A,B是常数)(nN N*)1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相 应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.是等差数列an六、用函数观点认识等差数列 1andna1d,d0 时是关于n的一次函数2Snn2n,d0 时是关于n的常数项为零的二d 2(a1d 2) 次函数 七、等差数列的重要性质 1在等差数列中,若pqmn,则有anapaqaman;若 2mpq,则有 2amapaq(p,q,m,nN N*,简称为下标和性质) 2在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差an数列,即an,ank,an2k,an3k,为等差数列,公差为kd. 3若数列是等差数列,Sn是其前n项的和,那么anSk,S2kSk, S3kS2k(kN N*)也成等差数列,公差为k2d.基础自测 1(2013江门二模)已知数列an是等差数列,若 a3a1124,a43,则an的公差是( ) A1 B3 C5 D6解析:解析:(法一)因为数列an是等差数列, a3a1124,a43,利用等差数列的性质可得 2a724,所以a712,d3.a7a4 74 (法二)设等差数列的公差为d, a3a1124,a43,Error!解得a16,d3,故选 B. 答案:答案:B2(2013宁夏银川一中质检)已知数列an为等差数列且 a1a7a134,则 tan(a2a12)的值为( ) A. B33C D333解析:解析:由等差数列的性质,得a1a7a133a74,a7,tan(a2a12)tan(2a7)tan tan 4383.故选 D.2 33 答案:答案:D3各项不为零的等差数列an中,2a3a272a110,则 a7的值为_解析:解析:由 2a3a2a110,得 2(a3a11)a04a7a2 72 7 0,2 7 a7(4a7)0.a70,a74. 答案:答案:44设Sn是等差数列an的前n项和若 ,则S3 S61 3_.S6 S7解析:解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则有 ,得a12d,.3a13d 6a115d1 3S6 S76a115d 7a121d27 35答案:答案:27 351(2013辽宁卷)下面是关于公差d0 的等差数列an 的四个命题: 数列an是递增数列;数列nan是递增数列;数列是递增数列;数列an3nd是递增数列an n 其中的真命题为( )A B C D解析:解析:ana1(n1)d,d0, anan1d0,命题正确 nanna1n(n1)d,nan(n1)an1a12(n1)d 与 0 的大小和a1的取值情况有关 故数列nan不一定递增,命题不正确对于:d,an na1 nn1 nan nan1 n1a1d nn1当da10,即da1时,数列递增,an n 但da1不一定成立,则不正确 对于:设bnan3nd, 则bn1bnan1an3d4d0. 数列an3nd是递增数列,正确 综上,正确的命题为. 答案:答案:D2(2013四川卷)在等差数列an中,a1a38,且a4 为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和解析:解析:设该数列公差为d,前n项和为Sn,由已知,可得 2a12d8,(a13d)2(a1d)(a18d) 所以,a1d4,d(d3a1)0, 解得a14,d0 或a11,d3, 即数列an的首项为 4,公差为 0,或首项为 1,公差为 3. 所以,数列an的前n项和Sn4n(nN N*)或Sn(nN N*)3n2n 21(2013汕头一模)在等差数列an中,首项a10,公 差d0,若aka1a2a3a10,则k( ) A45 B46 C47 D48解析:解析:aka1a2a3a10,a1(k1) d10a145d, a10,公差d0,(k1)d45d,k46,故选 B. 答案:答案:B2设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知数列an是首项为 1,公差为 1 的等差数列Sn(1)求数列的通项公式;an(2)令bn,若不等式i1anS2n1an1S2n1n i1b对任意nN N*都成立,求实数L的取值范围L2n11解析:解析:(1)数列是首项为 1,公差为 1 的等差数列,Sn11n.Sn(n1) Snn2. 当n1 时,a1S11; 当n2 时,anSnSn1n222n1.(n1)又a11 适合上式,an2n1(nN N*)(2)bn1anS2n1an1S2n11(2n1) 2n1(2n1) 2n11(2n1)(2n1)( 2n1 2n1)2n1 2n12 (2n1)(2n1),1 2(12n112n1)ib1b2bnn i1b1 2(113)1 2(1315)1 2.(12n112n1)1 2(112n1)2n112 2n1故要使不等式i对任意nN N*都成立,n i1bL2n11只需对任意nN N*都成立,2n112 2n1L2n11得L对任意nN N*都成( 2n11)( 2n11)2 2n1n2n1 立令cn,n2n1则1.cn1 cn(n1) 2n1n2n32n35n24n12n33n2 cn1cn.cncn1c1.L.3333实数L的取值范围为.(,33
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