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第四节第四节 基本不等式:基本不等式: (a(a,bRbR) )a ab ba ab b 2 2知识梳理 一、算术平均数与几何平均数的概念若a0,b0,则a,b的算术平均数是,几何平均数ab 2 是.ab 二、常用的重要不等式和基本不等式 1若aR R,则a20,0(当且仅当a0 时,取等号)|a| 2若a,bR R,则a2b22ab(当且仅当ab时取等号) 3若a,bR R,则ab2(当且仅当ab时取等号)ab 4若a,bR R,则2(当且仅当ab时取a2b2 2(ab 2)等号) 三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式:若a,bR R,则(当且ab 2ab 仅当ab时取等号)变式: ab2(a,bR R)(ab 2)四、最值定理1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大小值问题.设x0,y0,由xy2,有:xy (1)若积xyP(定值),则和xy最小值为 2;P(2)若和xyS(定值),则积xy最大值为2.(S2) 即积定和最小,和定积最大 运用最值定理求最值应满足的三个条件:“一正、二定、 三相等” 五、比较法的两种形式 一是作差,二是作商基础自测 1若x2y4,则 2x4y的最小值是( ) A4 B8 C2 D422解析:解析:因为 2x4y2228,当2x22y2x2y24 且仅当 2x22y,即x2y2 时取等号,所以 2x4y的最小值 为 8. 答案:答案:B2下列结论中正确的是( )A当x0 且x1 时,lg x21 lg xB当x0 时,2x1xC当x2 时,x 的最小值为 21 xD当 0x2 时,x 无最大值1 x答案:答案:B3若直线 2axby20(a0,b0)始终平分圆x2y22x4y10 的周长,则 的最小值是_1 a1 b答案:答案:44当x2 时,不等式xa恒成立,则实数a的取1x2 值范围是_解析:解析:因为xa恒成立,1 x2所以a必须小于或等于x的最小值1 x2 因为x2,所以x20.所以x(x2)24.1 x21 x2 所以a4. 答案:答案:(,41(2013山东卷)设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当取得最大值时, 的最大值xy z2 x1 y2 z 为( )A0 B1 C. D39 4解析:解析:由已知得zx23xy4y2(*)则1,xy zxy x23xy4y21 x y4y x3当且仅当x2y时取等号,把x2y代入(*)式,得 z2y2,所以 211.故选 B.2 x1 y2 z1 y1 y1 y2(1 y1) 答案:答案:B2某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800元若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天x 8 的仓储费用为 1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓 储费用之和最小,每批应生产产品( ) A60 件 B80 件 C100 件 D120 件解析:解析:记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 为f(x),则f(x) 220,当且仅当800x8x 1x800 xx 8800 xx 8 (x0),即x80 时,取最小值故选 B.800 xx 8 答案:答案:B1已知a0,b0,则 2的最小值是( )1 a1 bab A2 B2 2 C4 D5解析:解析: 2224,当且仅当1 a1 bab1 abab ab,1 时,等号成立,即ab1 时,表达式取最小值ab 为 4.故选 C. 答案:答案:C2(2013东莞二模)已知x0,y0,且 1,则1 x9 y 2x3y的最小值为_解析:解析:由题意可得,2x3y(2x3y)292292(1 x9 y)3y x18x y3y x18xy 96,6当且仅当,结合 1,解得3y x18x y1 x9 yx,y9 时取等号,故 2x3y的最小值为 29623 626 .6 答案:答案:2966
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