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第十节第十节 抛物线抛物线( (二二) )基础自测 1已知抛物线y22px(p0)的准线与圆 x2y26x70 相切,则p的值为( )A. B1 C2 D41 2解析:解析:抛物线y22px(p0)的准线为x .圆p 2 x2y26x70,可化为(x3)2y216,则圆心为(3,0), 半径为 4.又抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y270 相切,3 4,解得p2.故选 C.6xp 2 答案:答案:C2已知抛物线C:yx2,则过抛物线的焦点F且斜率为1 4的直线l被抛物线截得的线段长为( )12A. B. 9 417 8 C5 D4解析:解析:抛物线C:x24y,则焦点F(0,1)直线l为yx1.1 2 由Error!得x22x40. 由韦达定理,得x1x22,x1x24. 由弦长公式可得,截得的线段长为1k2x1x224x1x21(12)25.故选 C.224 4 答案:答案:C3(2013东北三校第二次联考)若拋物线y22px(p0)上 一点P到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为 10 和 6,则p的 值为_解析:解析:设P(x0,y0),则Error!所以 362p,即(10p 2) p220p360,解得p2 或 18. 答案:答案:2 或 184已知动圆过点(1,0),且与直线 x1 相切,则动圆的 圆心的轨迹方程为_.解析:解析:设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距 离与其到直线x1 的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆 的圆心的轨迹方程为y24x. 答案:答案:y24x1(2013安徽卷)已知直线ya交抛物线yx2于A,B 两点若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值 范围为_解析:解析:以AB为直径的圆的方程为x2(ya)2a, 由Error!得y2(12a)ya2a0. 即(ya)y(a1)0,由已知Error!解得a1. 答案:答案:1,)2(2013辽宁卷)如图,抛物线 C1:x24y,C2:x22py(p0)点M(x0,y0)在抛物线C2上, 过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)当x01时,切线MA的斜率为 .21 2 (1)求p的值; (2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程 (A,B重合于O时,中点为O)解析:解析:(1)因为抛物线C1:x24y上任意一点(x,y)的切线斜率为y ,且切线MA的斜率为 ,所以A点坐标为x 21 2,故切线MA的方程为y (x1) .(1,1 4)1 21 4 因为点M(1,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是2y0 (2) ,1 221 432 24y0.1 222p32 22p 由得p2.(2)设N(x,y),A,B,x1x2,由N为线(x1,x2 1 4)(x2,x2 2 4)段AB中点知x,x1x2 2y.x2 1x2 2 8 切线MA、MB的方程为y(xx1).x1 2x2 1 4y(xx2).x22x2 24 由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0,y0.x1x2 2x1x2 4 因为点M(x0,y0)在C2上,即x4y0,2 0所以x1x2.x2 1x2 2 6由得x2y,x0.4 3 当x1x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2y.4 3因此AB中点N的轨迹方程为x2y.4 31设抛物线y24x的准线为l,F为抛物线的焦点P为 抛物线上的点,PQl,垂足为Q,若PQF的面积与POF的 面积之比为 31,则点P坐标是_答案:答案:(2,2)或(2,2)222(2013江苏泰州二模)已知过点A(4,0)的动直线l 与拋物线G:x22py(p0)相交于B、C两点当直线l的斜率是 时,4.1 2ACAB(1)求拋物线G的方程; (2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值 范围解析:解析:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是 时,1 2l的方程为y (x4),即x2y4.1 2 联立Error!得 2y2(8p)y80,y1y2,y1y24,由已知4,所以y24y1,由8p 2ACAB韦达定理及p0 可得y11,y24,p2,所以拋物线G的方 程为x24y. (2)由题意知直线l的斜率存在,且不为 0, 设l:yk(x4),BC中点坐标为(x0,y0),由Error!得 x24kx16k0, 由0 得k0,所以x02k,y0k(x04)2k24k,BC的中垂xCxB 2线方程为y2k24k (x2k),所以b2(k1)2,所以1 k b2.即b的取值范围为(2,)
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