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第七节第七节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明知识梳理 一、直接证明 1综合法:从题设的已知条件出发,运用一系列有关已确 定真实的命题作为推理的依据,逐步推演而得到要证明的结论, 这种证明方法叫做综合法综合法的推理方向是由已知到求证, 表现为由因索果,综合法的解题步骤用符号表示是:P0(已知) P1P2Pn(结论) 特点:由因导果,因此综合法又叫顺推法 2分析法:分析法的推理方向是由结论到题设,论证中步 步寻求使其成立的充分条件,如此逐步归结到已知的条件和已 经成立的事实,从而使命题得证,表现为执果索因,分析法的 证题步骤用符号表示为B(结论)B1B2BnA(已知) 特点:执果索因,因此分析法又叫逆推法或执果索因法 二、间接证明 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛 盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立这样的证明 方法叫反证法反证法是一种间接证明的方法 1反证法的解题步骤:否定结论推演过程中引出矛盾 肯定结论 2反证法的理论依据是:原命题为真,则它的逆否命题为 真,在直接证明有困难时,就可以转化为证明它的逆否命题成 立 3反证法证明一个命题常采用以下步骤: (1)假定命题的结论不成立; (2)进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法,了解分析法和 综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法反证法,了解反证法的思考过程、 特点.盾;与公理或定理矛盾; (3)由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不 成立”是错误的; (4)肯定原来命题的结论是正确的,即“反设归谬结论” 4一般情况下,有如下几种情况的证明题目常常采用反证 法: 第一,问题共有n种情况,现要证明其中的 1 种情况成立 时,可以想到用反证法把其他的n1 种情况都排除,从而肯定 这种情况成立; 第二,命题是以否定命题的形式叙述的; 第三,命题用“至少” 、 “至多”的字样叙述的; 第四,当命题成立非常明显,而要直接证明所用的理论太 少,且不容易说明,而其逆命题又是非常容易证明的基础自测 1设ta2b,sab21,则下列关于t和s的大小 关系中正确的是( ) Ats Bts Cts Dts解析:解析:因为stab21a2b(b1)20,所以 st. 答案:答案:D2对任意的锐角,下列不等式成立的是( ) Asin()sin sin Bcos()cos cos Ccos()0,1 n121 n22.2 S1S33 S2S4n1 SnSn21 41 121 225 16(2)解析:解析:对nN N*,关于m的不等式ama1(m1) dn的最小正整数解为cn3n2, 当n1 时,a1(c11)da11; 当n2 时,恒有Error! 即Error! 从而Error! d ,1a1 .1 34 3当d ,1a1 时,对nN N*且n2 时,当正整数mcn1 34 3时,有a1n.m1 3故存在这样的实数a1且a1的取值范围是.1,43)
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