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第五节第五节 含绝对值的不等式含绝对值的不等式知识梳理 一、绝对值的基本性质 设aR R,则|a|Error! (1)|a|0;(当且仅当a0时,取等号)(2)a;|a|(3)|a|a|a|; (4)|a|a|,|ab|ba|; (5)|a|2a2. 二、绝对值的运算性质 1|a|b|ab|a|b|(注意等号成立的条件) 2|a|b|ab|a|b|(注意等号成立的条件) 以上二式中,左边分别在ab0(0)时取得等号,右边分 别在ab0(0)时取得等号 3|ab|a|b|.4.|a b|a| |b| 三、解绝对值不等式的思路 1若a0,xR R,则 |x|ax2a2xa. 若aR R,则需对a进行分类讨论:|x|aError! 2|f|ggfg,|f|gf(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)(x)g或fg.(x)(x)(x)3|f|g|f2g2(fg(x)(x)(x)(x)(x)(x)0.f(x)g(x) 4含有多个绝对值符号的不等式,例如:形如 |xa|xb|c,|xa|xa|c或 |xa|xb|c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论 法”求解,也可利用绝对值的几何意义去求解 5含有参数的不等式的求解,通常要对参数分类讨论 四、解答含绝对值问题的常用策略 (1)定义策略;(2)平方策略;(3)定理策略;(4)等价转化 策略;(5)分段讨论策略;(6)数形结合策略 五、证明绝对值不等式的方法 证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和比 较法,分析法,换元法,综合法,放缩法,反证法等基础自测 1若命题p:|x1|2解析:解析:由|x2|0x2,3 x12x x1x2 x1 N,R RN,x|x 2x|1 x 2M(R RN).故选 C.x|1 x 0 答案:答案:C3不等式|x2|x2 的解集是_解析:解析:原不等式同解于x20,即x2. 答案:答案:x|x24若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解, 则实数a的取值范围是_解析:解析:令y|x1|x2|,由题意知应|a|ymin,而 y|x1|x2|x1x2|3,所以a3 或a3. 答案:答案:(,33,)1(2013江西卷)在实数范围内,不等式|x2|1|1 的解集为_解析:解析:由|x2|1|1 得1|x2|11, 解Error!得 0x4.不等式的解集为0,4 答案:答案:0,42(2013重庆卷)若关于实数x的不等式 |x5|x3|a无解,则实数a的取值范围是_解析:解析:因为|x5|x3|表示数轴上的动点x到数轴上 的点3,5 的距离之和,而(|x5|x3|)min8,所以当 a8 时,|x5|x3|a无解,故实数a的取值范围为 (,8 答案:答案:(,81(2013潮州二模)已知不等式|x2|1 的解集与不等 式x2axb0 的解集相等,则ab的值为_解析:解析:由不等式|x2|1,可得x21 或x21, 解得x3 或x1,故不等式|x2|1 的解集为x|x3 或 x1,即不等式x2axb0 的解集为x|x3 或x1所 以 31a,31b,所以ab431. 答案:答案:12若关于x的不等式|x|x1|a有解,则实数a的 取值范围是_解析:解析:|x|x1|x(x1)|1,即|x|x1|的 最小值为 1,若原不等式有解,则必须a1.实数a的取值范 围是1,) 答案:答案:1,)
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