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第十一节第十一节 轨迹方程的求法轨迹方程的求法知识梳理 一、一、 “曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”的概念的概念 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)0 的实数解建立 了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲 线 二、求曲线的二、求曲线的( (轨迹轨迹) )方程方程 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符 合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何 条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题 除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外, 还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能 力 它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程, 常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未 知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的 方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨 迹类型的轨迹方程因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻 找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,一是 寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的 运用 (1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤 建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐 标M(x,y);了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.列几何等式:写出适合条件的点的集合PM|P(M), 关键是根据条件列出适合条件的等式; 化为代数等式:用坐标代换几何等式,列出方程; 化简:把方程f(x,y)0 化成最简形式; 证明:证明化简后的方程就是所求曲线的方程 除个别情况外,化简过程都是同解变形,所以步骤可以 省略不写如有特殊情况,可适当加以说明,步骤也可省 略 (2)求曲线轨迹方程应注意的问题 要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分,应对方 程注明x的取值范围,或同时注明x,y的取值范围,保证轨迹 的纯粹性; 若轨迹有不同情况,应分别讨论,以保证它的完整性; 曲线的轨迹和曲线方程是有区别的,求曲线的轨迹不仅 要求出方程,而且要指明曲线的位置、类型基础自测 1(2013衡水中学模拟)下列说法正确的是( ) A在ABC中,已知A(1,1),B(4,1),C(2,3),则AB边 上的高的方程是x2 B方程yx2(x0)的曲线是抛物线 C已知平面上两定点A、B,动点P满足|PA|PB| |AB|,则P点的轨迹是双曲线1 2 D第一、三象限角平分线的方程是yx解析:解析:A 选项中高线为线段,B 选项中为抛物线的一部分, C 选项中是双曲线的一支故选 D. 答案:答案:D2已知点A(2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足x2,则点P的轨迹是( )PAPBA圆 B椭圆 C抛物线 D双曲线解析:解析:设动点P的坐标为(x,y),则(2x,y),PA(3x、y),由x2,得y2x6,因此选 C.PBPAPB答案:答案:C3.已知椭圆1 的左、右两个焦点分别是F1,F2,Px2 4y2 3 是这个椭圆上的一个动点,延长F1P到Q,使得|PQ|F2P|, 则Q的轨迹方程是_解析:解析:提示:用定义法求轨迹方程 答案:答案:(x1)2y2161曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2 (1,0)的距 离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹,给出下列三个结论: 曲线C过坐标原点; 曲线C关于坐标原点对称;若点P在曲线C上,则F1PF2的面积不大于a2.1 2 其中,所有正确结论的序号是_解析:解析: 曲线C经过原点,这点不难验证是错误的,如果 经过原点,那么a1,与条件不符;曲线C关于原点对称, 这点显然正确,如果在某点处|PF1|PF2|a2,关于原点的对称 点处也一定符合|PF1|PF2|a2;三角形的面积SF1F2P,因为Sa2 2F1F2P |PF1|PF2|sinF1PF2 |PF1|PF2|.所以1 21 2a2 2 正确 答案:答案:2(2013新课标全国卷)已知圆M:(x1)2y21, 圆N:(x1)2y29,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心 的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于 A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 解析:解析:由已知得圆M的圆心为M(1,0),半径r11,圆 N的圆心为N(1,0),半径r23. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切且与圆N内切,所以 |PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24,由椭圆的定义可 知,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为1(x2)3x2 4y2 3 (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于 |PM|PN|2R22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为 (2,0)时,R2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x2)2y24, 当l的倾斜角为 90时,则与y轴重合,可得|AB|2.3 当l的倾斜角不为 90时,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(4,0),所以|QP| |QM|R r1设l:yk(x4),由l与圆M相切得1,解得k|3k|1k2.24当k时,将yx代入1(x2)并整理24242x2 4y2 3得 7x28x80,解得x1,x2,所以46 2746 27|AB|x1x2|.1k218 7当k时,由图形的对称性可知|AB|,2418 7综上,|AB|或|AB|2.18 731(2013盐城模拟)设M、N为拋物线C:yx2上的两个 动点,过M、N分别作拋物线C的切线l1、l2,与x轴分别交于 A、B两点,且l1与l2相交于点P,若AB1. (1)求点P的轨迹方程; (2)求证:MNP的面积为一个定值,并求出这个定值(1)解析:解析:y2x,设M(m,m2),N(n,n2),则依题意知, 切线l1,l2的斜率分别为k12m,k22n,切线方程分别为 y2mxm2,y2nxn2,则A,B,设P(x,y),由Error!(m 2,0)(n 2,0) 得Error! 因为AB1,所以|nm|2, 即(mn)24mn4,将代入上式得:yx21, 所以点P的轨迹方程为yx21. (2)证明:证明:设直线MN的方程为ykxb(b0) 联立方程Error!消去y得x2kxb0, 所以mnk,mnb, 点P到直线MN的距离d,MN|mn|,所以S|k(mn 2)mnb|1k21k2MNPdMN|mn| (mn)1 21 2|k(mn 2)mnb|1 42|mn|2.即MNP的面积为定值 2.2.已知椭圆E:1(ab0)过点P(,1),x2 a2y2 b22 F1、F2为其左、右焦点,且PF1F2的面积等于.2 (1)求椭圆E的方程 (2)若M,N是直线x 上的两个动点,满足F1MF2N,3 2 问:以MN为直径的圆C是否恒过定点?若是,请给予证明;若 不是,请说明理由解析:解析:(1)设椭圆的焦距为 2c,由SPF1F2 2c1,1 22 c.2 两个焦点为F1(,0),F2(,0)22 又椭圆E过点P(,1),2a|PF1|PF2|4,得a2.2b2a2c22,椭圆E方程为1.x2 4y2 2(2)设M,N的坐标分别为 ,m,3 2(3 2,n)则,.F1M(3 2 2,m)F2N(3 2 2,n),0,F1MF2NF1MF2N即 2mn0,mn .9 41 4以MN为直径的圆C的圆心为,(3 2,mn 2)半径为,|mn| 2圆C的方程为22,(x3 2)(ymn 2)mn2 4 即x2y23x(mn)y20. 令y0,整理得x23x20,得x1 或x2,以MN为直径的圆C必过定点(1,0)和(2,0)
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