学业分层测评学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在【解析】 由定义，知|AB|527，因为|AB|min4，所以这样的直线有且仅有两条【答案】 B2过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，则弦AB 的长为( )A2 B21315C2 D21719【解析】 设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线 AB 斜率为2，且过点(1,0)得直线 AB 的方程为 y2(x1)，代入抛物线方程 y28x 得4(x1)28x，整理得 x24x10，则 x1x24，x1x21，|AB|52.故选 B.x1x224x1x25 16415【答案】 B3(2014全国卷)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF| x0，则 x0( )54A1 B2C4 D8【解析】 由 y2x 得 2p1，即 p ，因此焦点 F，准线方程为12(14，0)l：x ，设 A 点到准线的距离为 d，由抛物线的定义可知 d|AF|，从而 x014 x0，解得 x01，故选 A.1454【答案】 A4已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A，B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx2 Dx2【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在抛物线上，得y 2px1，2 1y 2px2，2 2由，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)又线段 AB 的中点的纵坐标为2，即 y1y24，直线 AB 的斜率为 1，故 2p4，p2，因此抛物线的准线方程为 x 1.p2【答案】 B5设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA4，则点 A 的坐标为( ) 【导学号：25650086】AFA(2，2) B(1，2)2C(1,2) D(2,2)2【解析】 设 A(x，y)，则 y24x，O(x，y)，A(1x，y)，OAxx2y24，AFAF由可解得 x1，y2.【答案】 B二、填空题6抛物线 y24x 上的点到直线 xy40 的最小距离为_【解析】 可判断直线 yx4 与抛物线 y24x 相离，设 yxm 与抛物线 y24x 相切，则由Error!Error!消去 x 得y24y4m0.1616m0，m1.又 yx4 与 yx1 的距离 d，|41|23 22则所求的最小距离为.3 22【答案】 3 227已知抛物线 y24x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y y 的最小值是_2 12 1【解析】 设 AB 的方程为 xmy4，代入 y24x 得 y24my160，则y1y24m，y1y216，y y (y1y2)22y1y216m232，2 12 2当 m0 时，y y 最小为 32.2 12 2【答案】 328过抛物线 y22x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.2512【解析】 设过抛物线焦点的直线为 yk，联立得Error!Error!整理得(x12)k2x2(k22)x k20，14x1x2，x1x2 .k22k214|AB|x1x211，得 k224，k22k22512代入 k2x2(k22)x k20 得 12x213x30，14解之得 x1 ，x2 ，又|AF|BF|，1334故|AF|x1 .1256【答案】 56三、解答题9求过定点 P(0,1)，且与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线方程. 【导学号：25650087】【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x0，由Error!Error!得Error!Error!即直线 x0 与抛物线只有一个公共点若直线的斜率存在，则设直线为 ykx1，代入 y22x 得：k2x2(2k2)x10，当 k0 时，直线方程为 y1，与抛物线只有一个交点当 k0 时，(2k2)24k20k .此时，直线方程为 y x1.1212可知，y1 或 y x1 为所求的直线方程12故所求的直线方程为 x0 或 y1 或 y x1.1210已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程【解】 由题意，抛物线方程为 y22px(p0)，焦点 F，直线 l：x ，(p2，0)p2A，B 两点坐标为，(p2，p) (p2，p)|AB|2|p|.OAB 的面积为 4， 2|p|4，p2.12|p2|2抛物线方程为 y24x.2能力提升1(2014全国卷)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|( )A. B6303C12 D73【解析】 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，F，(34，0)AB 的方程为 y0tan 30，(x34)即 yx.3334联立Error!Error!得 x2 x0.1372316x1x2，即 xAxB.7213212212由于|AB|xAxBp，所以|AB| 12.21232【答案】 C2已知 AB 是抛物线 y22px(p0)上的两点，O 为原点，若|，且OAOB抛物线的焦点恰好为AOB 的垂心，则直线 AB 的方程是( )Axp Bx p32Cx p Dx3p52【解析】 |O|，A，B 关于 x 轴对称OAB设 A(x0，)，B(x0，)2px02px0AFOB，F，(p2，0)1，x0 p.2px0x0p2(2px0x0)52【答案】 C3(2014湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以 F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线，其方程为 y24x.设过点(1,0)且斜率为 k 的直线方程为yk(x1)代入 y24x，得 k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k41.k1 或 k0)的顶点关于直线 l 的对1254称点在该抛物线的准线上(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 A，B 是抛物线 C 上两个动点，过 A 作平行于 x 轴的直线 m，直线OB 与直线 m 交于点 N，若 OO0(O 为原点，A，B 异于原点)，试求点 NAB的轨迹方程. 【导学号：25650088】【解】 (1)直线 l：y x .1254过原点且垂直于 l 的直线方程为 y2x.由，得 x .12抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上， 2，p2.p212抛物线 C 的方程为 y24x.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)由 OO0，得 x1x2y1y20.AB又 y 4x1，y 4x2，解得 y1y216.2 12 2直线 ON：yx，即 yx.y2x24y2由及 yy1，得点 N 的轨迹方程为 x4(y0)