学业分层测评学业分层测评( (十二十二) )第第 2 2 章章 55 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为( )A. B.4353C.2D.3【解析】 由题意知 2(2b)2a2c2bac4b2(ac)24(c2a2)(ac)24(ca)ca3c5ae .53【答案】 B2.已知方程1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( )x21ky21kA.10C.k0D.k1 或 k0，即(k1)(k1)b0)的左、右焦点，A 是x2a2y2b2椭圆的顶点，B 是直线 AF2与椭圆的另一个交点，F1AF260.图 256(1)求椭圆的离心率；(2)已知AF1B 的面积为 40，求 a，b 的值.3【解】 (1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以 e .12(2)设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a 可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，t a.85由 SAF1B a aa240知，1285322 353a10，b5.3能力提升1.设过抛物线的焦点 F 的弦 AB，则以 AB 为直径的圆与此抛物线的准线的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.以上答案均有可能【解析】 如图，弦 AB 过焦点 F，设其中点为 P，A，B，P 在抛物线准线l 上的射影分别为 A，B，P，则 PP为梯形 AABB 的中位线，PP (AABB)，12又由抛物线定义可知，AABBAFBFAB，以弦 AB 为直径的圆与 l 相切.【答案】 B2.已知 F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过 F1且垂直于 F1F2的弦.如果PF2Q90，则双曲线的离心率是( )A.B.122C.1D.1222【解析】 如图，由对称性知F1F2P 是等腰直角三角形，F1F2PF1.设双曲线的焦距为 2c，实轴长为 2a，则 PF12c，PF22c.2由双曲线结构特点，PF2PF12a，即 2c2c2a.2 1.e1.ca22【答案】 B3.已知圆 O1：(x2)2y216 和圆 O2：x2y2r2(0e2)，则 e12e2的最小值为_.【解析】 设动圆 M 的半径为 R.动圆 M 与圆 O1和圆 O2都相切有两种情况，一是与圆 O1内切、与圆 O2外切，二是与圆 O1和圆 O2都内切.相切都可以转化为圆心距问题.第一种情况，dMO14R，dMO2rR，dMO1dMO24r，为定值，且 O1O22.故由椭圆的定义可知，M 的轨迹为一个椭圆，a，c1.同理，第二4r2种情况，M 的轨迹为一个椭圆，a，c1.4r2两个椭圆的离心率分别为 e1和 e2(e1e2)，e1，e2.24r24re12e224r44r24r44r4r4r242r16r2212r12r22412r128212r12812r2422 12r12812r24，216 2242 234当且仅当 12r，即 r128时，取“” ，12812r2所以 e12e2的最小值为.2 2344.在平面直角坐标系 xOy 中，一动圆经过点且与直线 x 相切，设(12，0)12该动圆圆心的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)设 P 是曲线 E 上的动点，点 B，C 在 y 轴上，PBC 的内切圆的方程为(x1)2y21，求PBC 面积的最小值.【解】 (1)由题意可知圆心到的距离等于到直线 x 的距离，由抛(12，0)12的线的定义可知，曲线 E 的方程为 y22x.(2)设 P(x0，y0)(x00)，B(0，b)，C(0，c)，则直线 PB 的方程为(y0b)xx0yx0b0，又圆心(1,0)到直线 PB 的距离为 1，所以1，整理得(x02)b22y0bx00，|y0bx0b|y0b2x2 0同理可得(x02)c22y0cx00，所以 b，c 是方程(x02)x22y0xx00 的两根，所以 bc，bc，2y0x02x0x02依题意知 bc2，则(bc)2(bc)24bc，4x2 04y2 08x0x022因为 y 2x0，所以|bc|，2 02x0x02所以 SPBC |bc|x0(x02)48，124x02当且仅当 x04 时上式取等号，所以PBC 面积的最小值为 8.