学业分层测评学业分层测评( (十一十一) )(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1设 a1，a2，a3为正数，且 a1，a2，a3的任一排列为 a1，a2，a3，则的最小值为( )a1a1a2a2a3a3A3 B6C9D12【解析】 由题意，不妨设 a1a2a30，则0，1a31a21a1a1a13，a2a2a3a3a1a1a2a2a3a3当且仅当 a1a2a3时等号成立【答案】 A2设 a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是 a1，a2，an的任一排列，Pa ba ba b，Qa1a2an，则 P 与 Q 的大2 1 112 2 122 n 1n小关系是( )APQ BPQCP0，可知 a a a ，aaa.2 12 22 n1n1n111由排序不等式，得a ba ba ba aa aa a，2 1 - 112 2 - 122 n - 1n2 1 - 112 2 - 122 n - 1n即 a ba ba ba1a2an.2 1 - 112 2 - 122 n- 1nPQ，当且仅当 a1a2an0 时等号成立【答案】 D3某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商店中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要花_元，至多花_元( )A20,23B19,25C21,23D19,24【解析】 单价大小排列为 3,2,1，待买礼品数量排列为 5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是顺序和 35241225，最小值是逆序和32241519.【答案】 B4设 a1，a2，a3为正数，则与 a1a2a3大小关系为( )a1a2a3a2a3a1a3a1a2ABC0，于是，a2a3a3a1a1a2，1a11a21a3由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，a1a2a3a3a1a2a2a3a11a21a31a1即a1a2a3.a1a2a3a2a3a1a3a1a2【答案】 B5a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是 a1，a2，an的任一排列，则 a1ba2banb的最小值是( )11121nA1BnCn2D无法确定【解析】 设 a1a2an0.可知 aaa，1n1n111由排序原理，得 a1ba2banb11121na1aa2aanan.11121n【答案】 B二、填空题6设 ab0，则 a3b3与 a2bab2的大小关系是_【解析】 ab0，a2b20，因此 a3b3a2bab2(排序不等式)【答案】 a3b3a2bab27有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_ s.【解析】 等候的最短时间为：3443527141(s)【答案】 418若 a0，b0 且 ab1，则的最小值是_. b2aa2b【导学号：94910034】【解析】 不妨设 ab0，则有a2b2，且 .1b1a由排序不等式得 a2 b2b2aa2b1a1bab1，当且仅当 ab 时，等号成立12的最小值为 1.b2aa2b【答案】 1三、解答题9设 a，b，c 为正数，求证：a10b10c10.a12bcb12cac12ab【证明】 由对称性，不妨设 abc0，于是 a12b12c12，1bc1ca1ab故由排序不等式：顺序和乱序和，得.a12bcb12cac12aba12abb12bcc12caa11bb11cc11a又因为 a11b11c11， .1a1b1c再次由排序不等式：逆序和乱序和，得.a11ab11bc11ca11bb11cc11a所以由，得a10b10c10.a12bcb12cac12ab10已知 0 (sin 2sin 2sin 2)12【证明】 0cos cos 0.根据排序不等式得：乱序和逆序和又本题中等号不可能取到，sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)12能力提升1已知 a，b，c 为正数，则 a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是( )A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零【解析】 设 abc0，所以 a3b3c3，根据排序原理，得 a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知 abacbc，a2b2c2，所以 a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab，所以 a4b4c4a2bcb2cac2ab.即 a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】 B2锐角三角形中，设 P，Qacos Cbcos Bccos A，则 P，Qabc2的关系为( )APQBPQCPQD不能确定【解析】 不妨设 ABC，则 abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.abc2【答案】 C3设 a，b，c 是正数，则 aabbcc_(abc).abc3【解析】 不妨设 abc0，则 lg alg blg c，据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上两式相加，再两边同加 alg ablg bclg c，整理得 3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即 lg(aabbcc)lg(abc)，abc3故 aabbcc(abc) .abc3【答案】 4设 a，b，c 大于 0，求证：(1)a3b3ab(ab)；(2).1a3b3abc1b3c3abc1c3a3abc1abc【证明】 (1)不妨设 abc0，则 a2b2c20，a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2)由(1)知，同理 b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)所以1a3b3abc1b3c3abc1c3a3abc1abababc1bcbcabc1acacabc1abc(1ab1bc1ca).1abccababc1abc故原不等式得证