,第七章 一阶电路和二阶电路,7.1 动态电路的方程及其初始条件 7.2 一阶电路的零输入响应7.3 一阶电路的零状态响应7.4 一阶电路的全响应7.5 一阶电路的阶跃响应7.6 一阶电路的冲激响应7.7 二阶电路的时域分析,7.1 动态电路的方程及其初始条件,由前面已知，电容、电感有记忆的元件，又是储能元件，它们的电压与电流的约束关系是通过导数或微分表达的，所以也是动态元件。,1、含动态元件的电路称为动态电路根据KCL、KVL和元件VCR方程可以列出动态电路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。一般来说：由n阶微分方程描述的电路，称为n阶电路。,例1 列出如图所示电路的一阶微分方程。,得到,这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。,在上式中代入:,解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程,对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程,在上式中代入 ：,得到,这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。,当电路结构或元件参数发生变化时（换路），动态电路会从一个稳态转变到另一个稳态，稳态间的过度过程称为暂态。假设换路都是在t=0时刻进行，把换路前一瞬间记为t=0-，换路后一瞬间记为t=0+。,稳态:电路中的激励及响应均是恒定量或按某种周期规律变化。,电路暂态：,稳态,稳态,(1)电容电压的连续性,令t0=0-，t=0+有：,(2)电感电流的连续性,令t0=0-，t=0+有：,换路定律,2、动态电路的初始条件,求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化(换路)后，电路变量（电压、电流）的初始值。,由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0-的各电压电流。,在开关转换后的一瞬间 t=0+，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流 iL(0+)= iL(0-) 和电容电压 uC(0+)=uC(0-)用数值为iL(0+)的电流源代替电感以及用数值为uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。,例2 图(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断开时电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)。,解：由于开关打开前各电压电流均为恒定值，电感相当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。,当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。,初始条件是电路中所求解的变量在 t=0+时的值。,2、利用换路定律求得iL(0+)或uC(0+),3、通过已知的iL(0+)和uC(0+)画出0+等效电路，求出电路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。,0+等效电路：,把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。,小结：,1、在 t=0-时的等效电路中求得iL(0-)或uC(0-),7.2 一阶电路的零输入响应,零输入响应：外施激励(电源)为零，由动态元件初始储能引起的响应。,1、RC电路的零输入响应(C对R放电),uC (0-)=U0,i= - C,uC(t)=Aept,特征方程 RCp+1=0,电路微分方程：,其解的形式为：,初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0, A=U0,令 =RC, 具有时间的量纲 ,称为时间常数,量纲：欧法=欧库/伏=欧安秒/伏=秒,越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。,C不断释放能量被R吸收,直到全部消耗完毕.,能量关系：,理论上过渡过程需很长时间才能到达稳态，工程上一般认为 就可认为电路已进入稳态。,2、RL电路的零输入响应,iL(0+)=iL(0-)=,uL=L,其解的形式为： i(t) = Aept,特征方程 Lp+R=0,i(0+)=i(0-)= I0,i(0+)=A= I0,电路微分方程：,uL = L,量纲：L/R=亨/欧=韦/安*欧=韦/伏=伏*秒/伏=秒,令=L/R, 称为RL电路的时间常数,一般认为，t=3-5过渡过程结束。,t=0时,打开开关K,iL (0+)=iL(0-)=1 A= I0,uV= - RViL,现象：电压表烧坏,电压表量程：50V,V (t 0),零状态响应：动态元件初始储能为零，电路在外施激励（电源）作用下，产生的响应。,特解： uC= US,1、RC电路的零状态响应,电路微分方程：,uC (0-)=0,7.3 一阶电路的零状态响应,非齐次线性常微分方程解答形式为：,特解,通解,= US+Ae,uC (0+)=A+US= 0, A= - US,uC“=Ae,对应齐次方程通解 uC“ 自由分量(暂态分量),全解uC = uC“+uC,uC (0-)=0,强制分量(稳态),自由分量(暂态),能量关系：,电源提供能量一部分消耗在电阻上，一部分储存在电容中，且WC=WR,充电效率为50%,uC (0-)=U0,1.全响应：非零初始状态的电路受到激励时产生的响应,7.4 一阶电路的全响应,全响应=零输入响应+零状态响应,电路微分方程：,= US+Ae,全解：uC = uC“+uC,由初始条件有：uC (0+)=A+US= U0,(t0),强制（稳态）分量,自由（暂态）分量,也可表示为：,2. 三要素法分析一阶电路,解为:,更一般形式为,零状态响应,零输入响应,RL电路： =L/R,RC电路： =RC,是在经典法的基础上总结出来的一种快捷的方法。只适用于一阶电路。,由列解微分方程，求未知量的时间函数式。,一阶电路暂态过程的分析方法:,1、求起始值 :,2、求稳态值 ：,激励为直流,令C开路。,3、求时间常数 :,将各量的三要素代入一般表达式：,uR1、iR2、uR2 的波形图:,例5 电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t 0时的电压uL。,解：,换路后，应用戴维南定理得出其等效电路，其中,例5 电路如图所示，开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t 0时的电压uL。,7.5 一阶电路的阶跃响应,1、单位阶跃函数,1） 定义,2）延迟单位阶跃函数,E,E,延迟单位阶跃函数可以起始任意函数,求图示电路中电流 iC(t）,例6,应用叠加定理,阶跃响应为：,由齐次性和叠加性得实际响应为：,7.6 一阶电路的冲激响应,1、单位冲激函数,1） 单位脉冲函数(t),2）定义,k(t),3） 函数的筛分性,f(0)(t),方法1：分成二个时段来考虑，求iL(0+)、uC(0+),1） t 在 0- _ 0+间 2） t 0+,4） (t) 和(t)的关系,2、分析冲激响应,1 ）t 在 0- _ 0+间,uc 不可能是冲激函数,=0,=1,2） t 0+ 零输入响应（ RC放电）,电容电压发生越变,1 ）t 在 0- _ 0+间,iL 不可能是冲激函数,电感电流发生越变,2） t 0+零输入响应（RL放电）,方法2：利用阶跃响应求冲激响应,对于一个线性电路，可先求电路的阶跃响应s(t)，再对s(t)求一阶导数得冲激响应h(t)。,求 iL和uL的冲激响应。,法1 解：由戴维南定理将电路等效变换为,1） t 在 0- _ 0+间,iL不可能是冲激函数,2） t 0+ 零输入响应,法2 解：先求激励为 时的响应,法2 解：先求激励为 时的响应。由戴维南定理将电路等效变换为,激励为 的响应,7.7 二阶电路,1 二阶电路的零输入响应2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应*3 二阶电路的冲激响应,1 二阶电路的零输入响应,二阶电路含二个独立储能元件的电路，用二阶常 微分方程所描述的电路。,uc(0-)=U0 i(0-)=0,已知：,零状态响应的三种情况:,过阻尼状态,临界阻尼状态,欠阻尼状态,设|P2|P1|,过阻尼状态，非振荡衰减过程,t=0+ ic=0 , t= i c=0,ic0 t = tm 时ic 最大,tm,2tm,uL,ic,设|P2|P1|,tm为uL=0时的 t,计算如下:,由duL/dt可确定uL为极小时的 t .,能量转换关系,0 t tm uc减小 ，i 减小，电感释放能量，磁场逐渐衰减。,电容在整个过程中一直释放储存的电能,是非振荡放电过程。,特征根为一对共轭复根,uc的解答形式：,欠阻尼状态，振荡衰减过程,A1 ，A2 为一对共轭复数,经常写为：,A ，为待定常数,B1，B2为待定常数,，间的关系:,B1,B2,t=0时 uc=U0,uc零点：t = -，2- . n-,uc极值点：t =0， ，2 . n,uL零点：t = ，+，2+ . n+,ic零点：t =0，2 . n ， ic极值点为uL零点。,能量转换关系：,0 t , t -,- t ,特例：R=0时,等幅振荡,解出：,临界阻尼状态，振荡衰减过程,二阶电路的性质取决于特征根，特征根仅仅取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。,已知如图，t=0时打开开关。求uc并画出其 变化曲线。,解：,(1) uc(0-)=25V iL(0-)=5A,特征方程为：50P2+2500P+106=0,例,(3),uc(0-)=0 ,iL(0-)=0,微分方程为：,特解,通解,特解:,求通解的特征方程为：,2 二阶电路的零状态响应,uc解答形式为：,结 束,第七章,