12.4 复复 数数1复数的有关概念(1)定义：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a 叫做实部，b 叫做虚部(i 为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b 为实数)abi 为实数b0abi 为虚数b0复数的分类abi 为纯虚数a0 且 b0(3)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做复数 zabi 的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)OZa2b22复数的几何意义复数 zabi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系OZ3复数的运算(1)运算法则：设 z1abi，z2cdi，a，b，c，dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.OZOZ1OZ2Z1Z2OZ2OZ1【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程 x2x10 没有解( )(2)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )(4)原点是实轴与虚轴的交点( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )1(2014课标全国)等于( )1i31i2A1i B1iC1i D1i答案 D解析 方法一 1i31i21i1i22i1i1i22i2i22i2i1ii1i.故选 D.方法二 2(1i)i2(1i)1i.1i31i2(1i1i)2在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C对应的复数是( )A48i B82iC24i D4i答案 C解析 A(6,5)，B(2,3)，线段 AB 的中点 C(2,4)，则点 C 对应的复数为 z24i.3(2013四川)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，由图中表示 z 的共轭复数的点是( )AA BBCC DD答案 B解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称，B 点表示 .选 B.z4(2013广东)若 i(xyi)34i，x，yR，则复数 xyi 的模是( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 由题意知 xyi43i，34ii所以|xyi|43i|5.4232题型一 复数的概念例 1 (1)已知 aR，复数 z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )z1z2z1z2A1 Bi C. D025(2)若 z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件思维点拨 (1)若 zabi(a，bR)，则 b0 时，zR；b0 时，z 是虚数；a0 且 b0时，z 是纯虚数(2)直接根据复数相等的条件求解答案 (1)A (2)A解析 (1)由i 是纯虚数，得 a1，此时i，其z1z22ai12i2ai12i522a54a5z1z2虚部为 1.(2)由Error!Error!解得 m2 或 m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件思维升华 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)(2013安徽)设 i 是虚数单位若复数 a(aR)是纯虚数，则 a 的值为( )103iA3 B1 C1 D3(2)(2014浙江)已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 (1)D (2)A解析 (1)aa(3i)(a3)i，由 aR，103i且 a为纯虚数知 a3.103i(2)当 ab1 时，(abi)2(1i)22i；当(abi)22i 时，得Error!Error!解得 ab1 或 ab1，所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件题型二 复数的运算例 2 计算：(1)_；31i2i1(2)()6_.1i1i2 3i3 2i思维点拨 复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算答案 (1)33i (2)1i解析 (1)31i2i13 2ii16ii13i(i1)33i.6ii12(2)原式61i22 2 3i 3 2i 32 22i61i.62i3i 65思维升华 (1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1i)22i；i；i.1i1i1i1ii(abi)bai.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.(1)(2014广东)已知复数 z 满足(34i)z25，则 z 等于( )A34i B34iC34i D34i(2)(2014北京)复数2_.(1i1i)答案 (1)D (2)1解析 (1)方法一 由(34i)z25，得 z34i.2534i2534i34i34i方法二 设 zabi(a，bR)，则(34i)(abi)25，即 3a4b(4a3b)i25，所以Error!Error!解得Error!Error!故 z34i.(2)21.(1i1i)1i22i1i22iii题型三 复数的几何意义例 3 如图所示，平行四边形 OABC，顶点 O，A，C 分别表示0，32i，24i，试求：(1)、所表示的复数；AOBC(2)对角线所表示的复数；CA(3)B 点对应的复数思维点拨 结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解解 (1)，所表示的复数为32i.AOOAAO，所表示的复数为32i.BCAOBC(2)，所表示的复数为CAOAOCCA(32i)(24i)52i.(3)，OBOAABOAOC所表示的复数为(32i)(24i)16i，OB即 B 点对应的复数为 16i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可(1)(2014重庆)在复平面内复数 Zi(12i)对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 A解析 复数 Zi(12i)2i，复数 Z 的实部 20，虚部 10，复数 Z 在复平面内对应的点位于第一象限(2)已知 z 是复数，z2i、均为实数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点z2i在第一象限，求实数 a 的取值范围解 设 zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得 y2. (x2i)(2i)z2ix2i2i15 (2x2) (x4)i，1515由题意得 x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知Error!Error!解得 2a6，实数 a 的取值范围是(2,6)解决复数问题的实数化思想典例：(12 分)已知 x，y 为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求 x，y.思维点拨 (1)x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题规范解答解 设 xabi (a，bR)，则 yabi，xy2a，xya2b2，3 分代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，5 分根据复数相等得Error!Error!7 分解得Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!9 分故所求复数为Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!12 分温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把 x、y 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解方法与技巧1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点Za，b一一对应平面向量OZ4复数运算常用的性质：(1)(1i)22i；i，i；1i1i1i1i(2)设 i，1232则|1；120； 2.(3)inin1in2in30(nN*)失误与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解3两个虚数不能比较大小4利用复数相等 abicdi 列方程时，注意 a，b，c，dR 的前提条件5注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，z z 0，就不能推出 z1z20；z20 在复数范围内有可能成立.2 12 2A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )A1 B0 C1 D1 或 1答案 A解析 由复数 z 为纯虚数，得Error!Error!解得 x1，故选 A.2在复平面内，向量对应的复数是 2i，向量对应的复数是13i，则向量对应ABCBCA的复数是( )A12i B12iC34i D34i答案 D解析 因为13i(2i)34i.CACBBA3若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数的点是( )z1iAE BF CG DH答案 D解析 由题图知复数 z3