1 / 7yxO8yx P5导数综合问题一、常规问题一、常规问题1.1.切线问题切线问题1.11.1 常用方法：常用方法：据条件、列方程如：“切线斜率=切点处导数值” ， “切点既在函数图象上，也在切线上”等.1.21.2 检查重点：检查重点：区分“在点处”与“过点”的切线.例 1.过点作函数的图像的切线，则切线方程为 . (1,1)M3( )f xx320,3410xyxy 例 2.如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，( )yf xP8yx 则 2 .(5)(5)ff例 3.已知点是曲线上的一点，过点的切线 平行于直线，则切P321yxxPl23yx线 的方程是( B ）. lA. B. C. D. 或112yx 21yx2yx21yx2yx例 4.若曲线上的点处的切线平行于直线，则坐标为（ B ）. 32yxx0P41yx0PA. 或 B. 或 C. 或 D.或(0, 1)(1,0)(1,0)( 1, 4) ( 1, 4) (0, 2)(1,0)(2,8)例 5.若，设曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列*nN(1)nyxx2x yna的前项和为 .1na nn12n2.2.求单调区间或极值、最值问题求单调区间或极值、最值问题2.12.1 解题流程解题流程(1)求定义域；(2)求导数； fx(3)求方程的根,判断符号； 0fx fx(4)规范列表（正确判断在方程根左右的值的符号，明确极值） ； fx(5)写出单调区间.（多个同单调性区间要用逗号隔开，不能用“” ）U2.22.2 导函数导函数符号符号 fx2 / 7（1）一般地，将因式分解为乘积形式； fx（2）结构特点 fx北京高考22( )(1)xbf xx42(1)(1)( )(1)xxbfxx 北京高考( )(0)kxf xxek( )(1)kxfxkxe北京高考2( )ln(1)(0)2kf xxxxk2(1)( )(1)1kxkxfxxx 北京高考2( )()x kf xxke1( )()()x kfxxkxk ek北京高考，2 23( )1(0)4ah xaxxx a ( )3()()26aafxxx北京高考ln( )xf xx21 ln( )(0)xfxxx西城一模( )(1)(0)xaf xe ax22( )(0)xxaxafxexx西城二模xaxaxxfln) 1(21)(2()(1)( )(0)xa xfxxx西城一模2(1)( )a xf xx(0)a 2( )ln( )g xxxx f x（）3(2)( )a xfxx 0x ( )ln1g xxa 西城)1ln(21)(2xaxxxf()aR(1)( )(1)1x axafxxx 西城一模( )e(1)axaf xax2(1)(1)1( )eaxxaxfxax(0)x 西城二模2221( )1axaf xx()aR22()(1)( )2 1 xa axfx x西城2( )xf xxb222( )()()xbfxbRxb 西城一模，( )lnf xaxx( )e3axg xx，1( )axfxx( )e3axg xa西城( )()exf xxa( )(1)exfxxa3 / 7（3）如果无法分解，则直接解方程求根，或者考虑的保号性. fx例 6.（2010 南开试点班）求证.3 sin6xxx（泰勒展开式）357 sin. ()3!5!7!xxxxxxRL L（4）注意问题（a）求导是关键；（b）定义域及参数取值范围；（c）当“”时，二次方程两根0a 关系为；（d）若为指定区间，注意讨论自然定义域中单调性改变点22bb aa （通常为极值点）是否在此区间内；（e）特殊地，得到解集为， 0fx ,aaU但当时函数连续，此时要把单调区间优化为；（f）注意讨论极值或端点值之xa, 间的大小关系以确定最值，并指明是最大值还是最小值及何时取到.二、综合问题二、综合问题1.1.加强原函数及其导函数图象之间的关联分析，加深对导数、极值概念的理解和认识加强原函数及其导函数图象之间的关联分析，加深对导数、极值概念的理解和认识. .例 7.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 00S tS，则导函数 yS t的图像大致为（A）例 8.若函数( )yf x的导函数在区间 , a b上是增函数，则函数( )yf x在区间 , a b上 的图象可能是 ( A )例 9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函)(xf),(ba)(xf ),(baA B C DababaoxoxybaoxyoxybyA B C D4 / 7ab xy)(xfyOab xy)(xfyO数在开区间内有极值点（ C ）)(xf),(baA1 个 B2 个 C3 个 D 4 个例 10.已知函数 f (x)的导函数的图象如右图所示，( )fx那么函数 f (x)的图象最有可能的是（ C ）例 11. 设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，( )f xR( )fx( )f x2x 则函数的图象可能是（ C ）( )yxfx例 12.设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象2( )=f xaxbxc1x ( )xyf x e不可能为的图象是( D )( )yf x1xyO1xy O1xyO1xyOA B C D 例 13.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系( )fx( )f x( )yf x( )yfx中, 不可能正确的是（ D ）yxOyxOyxOyxOABCD A B C DyxO12-2AyxO1 2-2ByxO1 2-2CyxO 12-2DyxO12 -1( )fx5 / 7例 14.定义在上的函数)(xf满足1)4(f，为)(xf的导函数，已知)( xfy 的R( )fx图象如图所示，若两个正数，b满足1)2(baf，则11 ab的取值范围是（ C ）aA)31,51(B 1(, )(5,)3UC)5 ,31(D)3 ,(2 2根据不等关系及结构特点，构造导函数模型根据不等关系及结构特点，构造导函数模型. .例 15.若函数在 R 上可导，且满足不等式恒成立，且常数 a, b 满足( )yf x( )( )0xfxf xa b,则下列不等式一定成立的是( A )A. B. C. D. ( )( )af abf b( )( )af bbf a( )( )af abf b( )( )af bbf a例 16.是定义在上的非负可导函数, 且满足. 对任意正数 a、b, )(xf), 0( 0)()( xfxxf若 a b，则必有( A ) A. B. C. D. )()(abfbaf)()(abfbaf)()(bfaaf)()(afbbf例 17.已知，都是定义在上的函数，且满足以下条件：)(xf)(xgR（，） ；. ( )( )xf xag x0a 1a ( )0g x ( ) ( )( ) ( )f x g xfx g x若，则使成立的的取值范围是（ B ）.25 ) 1() 1( ) 1 ( ) 1 (gf gf1logxaxA. B. C. D. 1(0, )(2,)2U1(0, )21(, )(2,)2U(2,)例 18.设函数在 R 上的导函数为，且，下面的不等式在 R 内( )f x( )fx22 ( )( )f xxfxx恒成立的是( A )A. B. C. D. 0)(xf0)(xfxxf)(xxf)(例 19.函数在区间内任取两个不等实数，不等式2) 1ln()(xxaxf(0,1), p q恒成立，则实数的取值范围是_.1) 1() 1( qpqfpfa15,例 20.已知函数.1ln) 1()(2axxaxf（）讨论函数的单调性；)(xf（）设，如果对任意，都有，1a), 0(,21xx1212|()()| 4|f xf xxxxyO6 / 7求的取值范围. a2a 例 21.设函数1( )(01)lnf xxxxx且（）求函数的单调区间； ( )f x（）已知对任意成立，求实数的取值范围。1 2axx(0,1)xa例 22.已知函数(1)( )ln1a xf xxx（）若函数在上为单调增函数，求的取值范围；( )f x(0,)a2a （）设，且，求证：mnRmnlnln2mnmn mn3.3.有关数与形、含量词等问题的转化策略有关数与形、含量词等问题的转化策略. .（1 1） “数数”与与“形形”转化问题转化问题把图形位置关系问题、零点个数问题转化为函数单调性及极值问题，关键是等价转化. 需要关注：函数图像不仅仅与极值有关,有时还要考察函数在定义域两侧的趋势. 要充分发挥初等函数的作用，要考虑特殊背景下的个性特征，以减少不必要的猜想和讨论.例 23.（2013 北京高考）设 L 为曲线ln:xC yx在点1,0处的切线（）求 L 的方程；（）证明：除切点1,0之外，曲线 C 在直线 L 的下方第（）问证明位置关系等价转化为证明( )1( )0 (0,1)g xxf xxx 例 24.（2008 年北京）已知函数，求导函数，并确定单调区22( )(1)xbf xx( )fx( )f x间例 25.（2010 年西城一模）已知函数，其中.( )(1)xaf xex0a （I）求函数的零点；( )f x（II）讨论在区间上的单调性；( )yf x(,0)（III）在区间上，是否存在最小值？若存在,求最小值；若不存在,请说理(,2a ( )f x由 例 26.已知是函数的一个极值点.3x 2ln 110f xaxxx（）求；a（）求函数的单调区间； f x7 / 7（）若直线与函数的图象有 3 个交点，求的取值范围. yb yf xb32ln221,16ln29b例 27.（2014.1 西城 18 ） 已知函数( )()exf xxa，其中e是自然对数的底数，aR.（）求函数)(xf的单调区间；（）当1a 时，试确定函数2( )()g xf xax的零点个数，并说明理由.例 28.（2012 年北京理）已知函数，