高考学习网中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识！ 2.4.12.4.1（1 1） 平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义学案学案 学习目标学习目标：1、说出平面向量的数量积及其几何意义； 2、学会运用平面向量数量积的重要性质及运算律。 学习重难点学习重难点：平面向量的数量积及其几何意义。 学习过程学习过程 【自主学习自主学习】 阅读课本 103 页的内容： （一） 、数量积的概念 1、给出有关材料： （1）如图所示，一物体在力 F F 的作用下产生位移 S S， 那么力 F F 所做的功：W= （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W（功）是 _量， F F（力）是 _量， S S（位移）是 _量， 是 _。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 （1）数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 coscos叫做abab 与的数量积（或内积） ，记作：，即：= coscosabababab （2）定义说明： 记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替； ab 规定：零向量与任何向量的数量积为零，即=.0 a 0 （3）学生讨论，并完成下表： 的范围090=9090180 的符号ab （二） 、研究数量积的意义 S F 高考学习网中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识！ 1、给出向量投影的概念： 如图，我们把cos（cos）ba 叫做向量在方向上（在方向上）的投影，baab 记做：OB1=cosb 2、数量积的几何意义是什么？ 3、研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质： 【重难点探究重难点探究】 1、两个向量的夹角： 已知两个非零向量a和b，过 O 点作OAa，OBb，则AOB (0180) 叫做向 量a与b的 当 0时，a与b ；当 180时，a与b ；如果 a与b的夹角是 90，我们说a与b垂直，记作 2、两个向量的数量积的定义： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则数量 _叫做a与b的数 量积（或内积） ，记作ab，即ab _规定：=0 a 0 3、向量的数量积的几何意义： |b|cos 叫做向量b在a方向上的投影 ( 是向量a与b的夹角) ab的几何意义是：数量ab等于 _ 4、向量数量积的性质：设a、b都是非零向量， 是a与b的夹角 (1) ab _ (2) 当a与b同向时，ab ；当a与b反向时，ab 特别的，= |a a |2 .a (3) cos _ (4) |ab| _ 5、向量数量积的运算律： ab _ (a)b _a(b) (ab)c _ A bcos B 1 B O 高考学习网中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识！ 例例 1 1、已知ABC 为等边三角形，且边长为 1，求： AB AC AB BC 例例 2 2、已知，当 ， ， 与的夹角是abababab 60时，分别求的值。ab 例例 3 3、已知= 6，= 4，与的夹角为 60，求（+2）（-3） ，并思abababab 考此运算过程类似于实数哪种运算？ 【公式】：（1）(+)2= 2+2 + 2 abaab b （2）(+ )(-)= 22 ababab 【归纳总结归纳总结】 ab _ ab _ =_a a 【巩固提升巩固提升】 1、已知|=5， |=4， 与的夹角 =120o，求.ababab 2、已知|a|4，|b|5，且a与b的夹角为 60，求：(2a3b)(3a2b) 高考学习网中国最大高考学习网站 Gkxx.com | 我们负责传递知识！ 3、在平行四边形 ABCD 中，AB=3，AD=2，ADC=45，求： AB AD BA BC AD CD DC CB AB DC AD CB 【当堂检测当堂检测】高考题：高考题： 1、 （09 江苏）已知向量a 和b 的夹角为30o，| | 2,| |3ab ，则a b = _ 2.（广东理）若向量满足与的夹角为 120，则 ., a b 1,aba b a aa b 3.（广东文）若向量满足与的夹角为60，则（ ）, a b 1,aba b a aa b A B C. D2 1 2 3 2 3 1 2 4.（上海文）若向量的夹角为，则 _a b ， 601 baaab A 5.（北京卷 10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为ab1204ab(2)Abab _ 6.(江西文)已知两个单位向量，的夹角为，若向量，则 1 e 2 e 3 112 2bee 212 34bee =_. 12 b b 7.（江苏）已知是夹角为的两个单位向量， 若 21,e e 3 2 ,2 2121 eekbeea ，则 k 的值为_0 ba