13.1.33.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点)基础初探教材整理 1 空间向量的夹角阅读教材 P90第 13 自然段内容，完成下列问题.1.夹角的定义图 3114已知两个非零向量a a，b b，在空间任取一点O，作a a，b b，则AOB叫做向量OAOBa a，b b的夹角，记作a a，b b.2.夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，.特别地，当0 时，两向量同向共线；当_时，两向量反向共线，所以若a ab b，则a a，b b0 或 ；当a a，b b时，两向量_，记作_. 2【答案】 垂直 a ab b判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)a a，b b与(a，b)都表示直角坐标系下的点.( )(2)在ABC中， ， B.( )ABBC(3)在正方体ABCDABCD中，与的夹角为 45.( )ABAC【答案】 (1) (2) (3)2教材整理 2 空间向量的数量积及其性质阅读教材 P90第 4 自然段“思考”以上部分内容，完成下列问题.1.已知两个非零向量a a，b b，则_叫做a a，b b的数量积，记作_.规定：零向量与任何向量的数量积为_，即 0 0a a_.【答案】 |a|b|a|b|cosa a，b b abab 0 02.空间向量数量积满足下列运算律：(1)(a a)b b(abab)；(2)交换律：ababbaba；(3)分配律：a a(b bc c)_.【答案】 a ab ba ac c3.空间向量数量积的性质：若a a，b b是非零向量，则a ab babab0若a a与b b同向，则abab|a a|b b|；若反向，则abab|a a|b b|.特别地：aaaa|a a|2或|a a|.a aa a若为a a，b b的夹角，则 cos a ab b |a a|b b|两个向量数量积的性质|abab|a a|b b|下列式子中正确的是( )A.|a a|a aa a2 B.(a ab b)2a a2b b2C.a a(a ab b)b ba a2D.|a ab b|a a|b b|【解析】 根据数量积的定义知，A，B，C 均不正确.故选 D.【答案】 D小组合作型空间向量数量积的运算如图 3115 所示，在棱长为 1 的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：3图 3115(1)；EFBA(2)；EFBD(3).ABCD【精彩点拨】 第(1)、(2)两问利用进行转化求解；EF1 2BD第(3)问利用进行转化求解.CDADAC【自主解答】 (1)EFBA1 2BDBA |cos， 1 2BDBABDBA cos 60 .1 21 4(2) |2 .EFBD1 2BDBD1 2BD1 2(3)()ABCDABADACABADABAC|cos， |cos， cos 60cos 600.ABADABADABACABAC在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式abab|a a|b b|cosa a，b b求解.再练一题1.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则_.AEAF4【解析】 AEAF(AB12BC)1 2ADa2cos 60a2.1 2ABAD1 4BCAD1 21 4【答案】 a21 4利用数量积证明空间的垂直关系已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.【精彩点拨】 (1)你能用， ，分别表示向量与吗？OAOBOCOGBC(2)如何用向量证明？OGBC【自主解答】 连接ON，设AOBBOCAOC，又设a a，b b，c c，OAOBOC则|a a|b b|c c|.又 ()OG1 2OMON1 21 2OA12OBOC (a ab bc c)，c cb b.1 4BC (a ab bc c)(c cb b)OGBC1 4 (a ac ca ab bb bc cb b2c c2b bc c)1 4 (|a a|2cos |a a|2cos |a a|2|a a|2)0.1 4，即OGBC.OGBC用向量法证明垂直关系的步骤1把几何问题转化为向量问题.52用已知向量表示所证向量.,3结合数量积公式和运算律证明数量积为 0.4将向量问题回归到几何问题.再练一题2.如图 3116，已知正方体ABCDABCD，CD与DC相交于点O，连接AO，求证：图 3116(1)AOCD； (2)AC平面BCD.【证明】 (1)因为 ()，AOADDOAD1 2DDDC因为，CDDDDC所以 (2)() (AOCD1 2DDDCADDDDC1 2DDDDDDDCDC22) (|2|2)0，所以，故DDDCDCADDDADDC1 2DDDCAOCDAOCD.(2)因为()()ACBCABBCCCBBBC，ABBBABBCBCBBBCBCCCBBCCBC可知0，0，ABBBABBC0，|2，BCBBBCBCBC|2，0，CCBBCCCCBC所以|2|20，ACBCBCCC所以，所以ACBC.ACBC同理可证，ACBD.6又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.利用数量积求夹角如图 3117，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求1与夹角的大小.BCAC图 3117【精彩点拨】 (1)怎样用向量， ，1表示向量1与？ABADAABCAC(2)求两向量的夹角公式是怎样的？【自主解答】 不妨设正方体的棱长为 1，1(1)()BCACBCCCABBC(1)()ADAAABAD211ADABADAAABAAAD020021，ADAD又|1|，|，BC2AC2cos ， .BC1ACBC1AC|BC1|AC|12 21 201， 180，BCAC1， 60.BCAC1与夹角的大小为 60 .BCAC1.由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，(0， 2因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系.当a a，b b 时，它们相等；而当a a，b b 时，它们互补.(0， 2( 2，2.利用数量积求异面直线所成角的余弦值的步骤：(1)取向量；7(2)求向量夹角余弦 cos a a，b b ；(3)定结果 cos |cosa a，b b|.再练一题3.如图 3118，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点.图 3118(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值.【解】 (1)证明：设a a，b b，c c，CACBCC根据题意，|a a|b b|c c|且a ab bb bc cc ca a0.b bc c，c cb ba a.CE1 2AD1 21 2c c2b b20，CEAD1 21 2，即CEAD.CEAD(2)a ac c，|a a|，|a a|，ACAC2CE52(a ac c)c c2 |a a|2，ACCE(b b1 2c c)1 21 2cos， .ACCE1 2|a a|2252|a a|21010异面直线CE与AC所成角的余弦值为.1010探究共研型利用数量积求距离探究探究 1 1 已知A(1,2,1)，B(2,0,2)，求|的值.AB8【提示】 (1，2,1)，AB|.AB1222126探究探究 2 2 求两点间距离或线的长度的方法.【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a a|2a aa a求解即可.平行四边形ABCD中，AB2AC2 且ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成 60角，求点B，D间的距离.图 3119【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC与CD，AC与AB垂直吗？(2)根据AB与CD成 60角可建立什么方程？能直接求出|吗？BD【自主解答】 由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为 60，于是，0，0，ACCDBAAC且， 60或 120.BACD|2()BDBAACCD2222222221222222cos， ，故|BAACCDBAACACCDBACDBACD|213 或 5，BD解得|或，BD135即B，D间的距离为或.1351.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算.2.用数量积求两点间距离的步骤：9(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a aa a|a a|2，求|a a|；(4)|a a|即为所求距离.再练一题4.如图 3120 所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成 60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离. 图 3120【解】 ()EFEAAF1 2OA1 2ABAC ()()1 2OA1 2OBOAOCOA，1 2OA1 2OB1 2OC所以222222 EF21 4OA1 4OB1 4OC(1 2)1 2OAOB(1