1第第 1414 讲讲 函数的图象和性质函数的图象和性质题型 1 函数的图象判断(对应学生用书第 47 页)核心知识储备函数的图象包括作图、识图、用图，三者在学习中的侧重点为：(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x)，yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究典题试解寻法【典题 1】 (考查建模类函数图象的识别)(2017石家庄质量预测一)在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是( )图 1412思路分析 鳖臑的定义找BPD的高建立函数f(x)的表达式识别f(x)的图象解析 法一：(直接法)如图，作PQBC于Q，作QRBD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQAB，QRCD.设ABBDCD1，则，即PQ，又CP ACx3PQ 1x3QR 1BQ BCAP AC，所以QR，所以PR3x33x3PQ2QR2(x3)(3x3)，所以f(x)332x22 3x3362x22 3x3，故选 A.66(x32)3 4法二：(特殊位置法)由题意可知，当P位于AC的中点时f(x)取得最小值，又f(x)是非均匀变化的，故排除选项 B，C，D，故选 A.答案 A【典题 2】 (考查解析式类函数图象的识别)(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为( )解析 f(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又f(2)8e2(0,1)，故排除 A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.答案 D3【典题 3】 (考查函数图象的应用)已知函数f(x)(xR R)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)( ) x1 xm i1【导学号：07804099】A0 Bm C2m D4m解析 因为f(x)2f(x)，所以f(x)f(x)2.因为0，xx 21，所以函数yf(x)的图象关于点(0,1)对称函数fxfx 2y1 ，故其图象也关于点(0,1)对称所以函数y与yf(x)图象的x1 x1 xx1 x交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi0，yi2 m，所以 (xiyi)m.mi1mi1m 2mi1答案 B类题通法 函数图象的判断方法(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复(5)取特殊值代入，进行检验对点即时训练1已知定义在区间0,4上的函数yf(x)的图象如图所示，则yf(2x)的图象为( )图D D 法一：先作出函数yf(x)的图象关于y轴的对称图象，得到yf(x)的图象；然后将yf(x)的图象向右平移 2 个单位，得到yf(2x)的图象；再作yf(2x)的图象关于x轴的对称图象，得到yf(2x)的图象故选 D.法二：先作出函数yf(x)的图象关于原点的对称图象，得到yf(x)的图象；然后将yf(x)的图象向右平移 2 个单位，得到yf(2x)的图象故选 D.42如图 142 所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按AOB CADB的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y|O1P|2，y与x的函数关系为yf(x)，则yf(x)的大致图象是( )图 142A A 当x0，时，y1.当x(，2)时，设与的夹角为O1PO2PO2O1O2PO2O1，|1，|2，由弧长公式得x，所以y|2(O2PO2O1O1PO2P)254cos 54cos x，x(，2)，所以函数yf(x)的图象是曲线，O2O1且单调递增，排除 C，D.当x2，4)时，因为，设，的夹角为O1POPOO1OPOO1，|2，|1，由弧长公式得2x，所以y|2()OPOO11 2O1POPOO1254cos 54cos x，x2，4)，所以函数yf(x)的图象是曲线，且1 2单调递减，排除 B.故选 A.题型强化集训(见专题限时集训 T2、T6、T8、T11)题型 2 函数性质的综合应用(对应学生用书第 48 页)核心知识储备1若f(x)在定义域上单调递增，则f(x1)f(x2)x1x2；若f(x)在定义域上单调递减，5则f(x1)f(x2)x1x2.2周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；1 fx(3)若f(xa)，则T2a.(a0) 1 fx3与函数对称性有关的三条结论(1)函数yf(x)关于x对称f(ax)f(bx)f(x)f(bax)；ab 2特例：函数yf(x)关于xa对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数yf(x)关于x0 对称f(x)f(x)(即为偶函数)；(2)函数yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b；特例：函数yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0；函数yf(x)关于点(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数)；(3)yf(xa)是偶函数函数yf(x)关于直线xa对称；yf(xa)是奇函数函数yf(x)关于(a,0)对称典题试解寻法【典题 1】 (考查基本初等函数的性质)(2016全国卷)若ab1,0f(2x1)成立的x的取值范围是( )1 1x2【导学号：07804100】A.B.(1，)(1 3，1)(，1 3)C.D.(1 3，1 3)(，1 3) (1 3，)思路分析 判断f(x)的奇偶性判断f(x)的单调性解关于x的不等式解析 f(x)ln(1|x|)f(x)，1 1x2函数f(x)为偶函数当x0 时，f(x)ln(1x)，1 1x2在(0，)上yln(1x)递增，y也递增，1 1x2根据单调性的性质知，f(x)在(0，)上单调递增综上可知：f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x2(2x1)23x24x11，f(log212)2log21216.12 2f(2)f(log212)369.故选 C.2.(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1 的x的取值范围是( )【导学号：07804101】A2,2B1,1C0,4D1,3D D f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选 D.3. (2017全国卷)设x，y，z为正数，且 2x3y5z，则( )A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5zD D 令t2x3y5z，x，y，z为正数，t1.则xlog2t，同理，y，z.lg t lg 2lg t lg 3lg t lg 52x3y2lg t lg 23lg t lg 3lg t2lg 33lg 2 lg 2 lg 30，lg tlg 9lg 8 lg 2 lg 32x3y.9又2x5z2lg t lg 25lg t lg 5lg t2lg 55lg 2 lg 2 lg 50，lg tlg 25lg 32 lg 2 lg 52x5z，3y2x5z.故选 D.4. (2015全国卷)如图 144，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为( )图 144B B 当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除0， 44tan2 xA，C.当x时，f f 1， 4，34( 4)(3 4)5f 2.21，( 2)225f f f ，从而排除 D，故选 B.( 2)( 4)(3 4)5(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.ax21 f(x)为偶函数，f(x)f(x)0 恒成立，xln(x)xln(x)0 恒成立，xln(x)ax2ax2ax2ln(x)0，ax2xln(x)(x)0，xln a0 恒成立，ln a0，即a1.ax2ax2