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第 58 课 复数的概念及其运算一、教学目标1了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。2理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算。二、基础知识回顾与梳理补充小练习1、若复数为纯虚数,则实数 x 值为 。ixxz) 1() 1(2【教学建议】本题主要是复习纯虚数的概念。总结并让学生形成记忆:复数,当且时,为纯虚数。),(RbRabiaz0a0bz2、= 。10032iiii【教学建议】本题主要复习虚数 i 的性质。3、已知复数 z 满足,求复数 z 的模。iiz1)2(【教学建议】本题目的是复习复数的四则运算和模的运算公式及运算性质。可提问:如何求复数 z 从而求模?如何表示出复数 z 从而利用模的性质求解?可将运算过程写给学生看,加深理解。三、诊断练习1、教学处理:课前由学生自主完成 4 道小题,并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答,了解学生的思路及主要错误。将知识问题化,通过问题驱动,使教学言而有物,帮助学生内化知识,初步形成能力。点评时要简洁,要点击要害。2、诊断练习点评题 1:设复数满足,其中 是虚数单位,则 z= 。z2)1 (zii【分析与点评】(1)教学时,可让学生设出复数代入,利用复数相等的定义求出),(RbRabiaza、b;(2)也可直接运用复数除法法则,解关于 z 的方程。题 2若复数是纯虚数,则实数(1bi)(2i)_b 【分析与点评】 (1)运用复数乘法先化简整理成复数的代数形式;(2)利用复数为纯虚数的充要条件且,突出强调纯),(RbRabiaz0a0b虚数的概念题 3已知复数,则.答案为:3,()2izii为虚数单位z 2【分析与点评】检查学生是先化简,还是直接求模。z题 4设复数(z 1)32zii 满足iz为虚数单位,则的实部是_Us【分析与点评】利用复数乘、除法法则化简计算。3、要点归纳(1)强化复数、虚数、纯虚数、虚数单位、共轭复数、复数相等的概念。(2)复数为实数的充要条件是;它为纯虚数的充要条件是 ),(RbRabiaz0b且。0a0b 四、范例导析例 1、实数 m 分别取什么数时,复数imimiz156)25()1 (2(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数;(4)z 的共轭复数虚部为 12。【教学处理】可让学生板演,教师点评【引导分析与精讲建议】1、必须先化简整理成复数的代数形式。2、第(2) (3)题分析时,应注意两者之间的区别与联系。可提问:复数为虚数的充要条件是什么?),(RbRabiaz复数为纯虚数的充要条件又是什么?),(RbRabiaz3、第(4)题分析时,应注意转化的思想:z 的共轭复数的虚部是 12,那么 z 的虚部是多少?例 2:计算(1) (2) 3)2)(1( iii22)1 (1 )1 (1 ii ii (3) (4) 313i 181 1i i【教学处理】要求学生独立思考并解题,指名学生板演,老师巡视指导了解学情;再结合板演情况进行点评。【引导分析与精讲建议】1、 关注虚数 i 的性质:。)1,2)1 ( ,2)1 ( , 14222Nniiiiiin(2、 对于第(4)小题:选择运算步骤; 思路一:先算括号里的除法,再算乘方即先平方再四次方 思路二:先乘方即分子分母分别乘方,再算除法 让学生实践并比较运算过程的繁简程度,选择哪一种?例 3.设是虚数,且,.求的最小值.z1zz12 1 1zuz2u【教学处理】引导学生发现题中隐含条件,由学生自主实施运算,锤炼学生计算与表达能力。【引导分析与精讲建议】(1)隐含什么?12 (2)猜想最终可以表达成什么?2u解答过程:设,则,( ,0)zabi a bR b,22221ababiabiabiabab由知是实数,所以,又,12 220bbab0b ,.221,2aba112,12a ,1 11abibiuabia 22 2 221122222111111213.1baauaaaaaaaaaa ,11,102aa D ,当且仅当,即时,取最小值 1.22 231u 111aa 0a 2u五、解题反思1、复数加减法的法则可以类比多项式合并同类项法则来理解和记忆。2、复数为实数的充要条件是;它为纯虚数的充要条件),(RbRabiaz0b且。0a0b 3、虚数单位 i 具有幂的周期性。4、注意以下结论的灵活运用:)(0)3(11,112(21)1)(1 (3212Nniiiiiiiiiiiinnnn)
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