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第 1 讲 随机事件的概率知 识 梳 理1随机事件和确定事件(1)在一定条件下,必然会发生的事件叫做必然事件(2)在一定条件下,肯定不会发生的事件叫做不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件(4)在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件2频率与概率(1)在相同的条件下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)为事nAn件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率3互斥事件与对立事件(1)互斥事件:在任何一次试验中不能同时发生的两个事件若事件 A 与事件 B互斥,则 P(AB)P(A)P(B)(2)对立事件:如果两个互斥事件必有一个发生,则这两个事件为对立事件若事件 A 与 B 对立,则 P(A)1P(B)辨 析 感 悟1对随机事件概念的理解(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件()(2)“方程 x22x80 有两个实根”是不可能事件()(3)(2014广州调研 C 项)“下周六会下雨”是随机事件()2对互斥事件与对立事件的理解(4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件()(5)(2014郑州调研 B 项)从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 110各 10 张)中,任取一张, “抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件()3对频率与概率的理解(6)(教材练习改编)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值()(7)(2013江西卷改编)集合 A2,3,B1,2,3,从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率为 .()13(8)(2014临沂调研改编)甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是 0.3,甲不输的概率为 0.8,则甲、乙二人下成和棋的概率为 0.5.()感悟提升两个区别 一是“互斥事件”与“对立事件”的区别:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件, “互斥”是“对立”的必要不充分条件如(5)中为互斥事件二是“频率”与“概率”:频率与概率有本质的区别,不可混为一谈频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数,它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时,频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就可以近似地当作随机事件的概率考点一 事件的关系与运算【例 1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次,设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则:A与 B 是互斥而非对立事件;A 与 B 是对立事件;B 与 C 是互斥而非对立事件;B 与 C 是对立事件四个结论正确的是_解析 根据互斥与对立的定义作答,AB出现点数 1 或 3,事件 A,B 不互斥更不对立;BC,BC( 为必然事件),故事件 B,C 是对立事件答案 规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪些试验结果,从而断定所给事件的关系【训练 1】 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹设 A两次都击中飞机,B两次都没击中飞机,C恰有一次击中飞机,D至少有一次击中飞机,其中彼此互斥的事件是_,互为对立事件的是_解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为AB,AC,BC,BD.故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D为彼此互斥事件,而 BD,BDI,故 B 与 D 互为对立事件答案 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D B 与 D考点二 随机事件的概率与频率【例 2】 某小型超市发现每天营业额 Y(单位:万元)与当天进超市顾客人数 X有关据统计,当 X700 时,Y4.6;当 X 每增加 10,Y 增加 0.05.已知近 20天 X 的值为:1 400,1 100,1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600,1 900,1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600,1 900,700.(1)完成如下的频率分布表:近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120420(2)假定今天进超市顾客人数与近 20 天进超市顾客人数的分布规律相同,并将频率视为概率,求今天营业额低于 10.6 万元高于 4.6 万元的概率解 (1)在所给数据中,进超市顾客人数为 1 100 的有 3 个,为 1 600 的有 7 个,为 1 900 的有 3 个,为 2 200 的有 2 个故近 20 天每天进超市顾客人数频率分布表为人数7001 1001 4001 6001 9002 200频率120320420720320220(2)由已知可得 Y4.60.05X1.1,X7001012004.6Y10.6,4.61.110.6,X200700X1 900.P(4.6Y10.6)P(700X1 900)P(X1 100)P(X1 400)P(X1 600).3204207201420710即今天营业额低于 10.6 万元高于 4.6 万元的概率为.710规律方法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率【训练 2】 某市统计的 20102013 年新生婴儿数及其中男婴数(单位:人)见下表:时间2010 年2011 年2012 年2013 年新生婴儿数21 84023 07020 09419 982男婴数11 45312 03110 29710 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到 0.001);(2)该市男婴出生的概率约是多少?解 (1)2010 年男婴出生的频率为 fn(A)0.524.nAn11 45321 840同理可求得 2011 年、2012 年和 2013 年男婴出生的频率分别约为0.521,0.512,0.513.(2)由以上计算可知,各年男婴出生的频率在 0.510.53 之间,所以该市男婴出生的概率约为 0.52.考点三 互斥事件、对立事件的概率【例 3】 (2014洛阳模拟)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多 2 人排队等候的概率是多少?(2)至少 3 人排队等候的概率是多少?审题路线 (1)分别求等候人数为 0 人、1 人、2 人的概率根据互斥事件的概率求和公式可求(2)思路一:分别求等候人数为 3 人、4 人、5 人及 5 人以上的概率根据互斥事件的概率求和公式可得思路二:转化为求其对立事件的概率根据 P(A)1P( )可求A解 记“无人排队等候”为事件 A, “1 人排队等候”为事件 B, “2 人排队等候”为事件 C, “3 人排队等候”为事件 D, “4 人排队等候”为事件 E, “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F,则事件 A,B,C,D,E,F 互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G,则 GABC,所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H,则 HDEF,所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二 记“至少 3 人排队等候”为事件 H,则其对立事件为事件 G,所以 P(H)1P(G)0.44.规律方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)1P( ),即运A用逆向思维(正难则反),特别是“至多” , “至少”型题目,用间接求法就显得较简便【训练 3】 一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球从中随机取出 1 球,求:(1)取出 1 球是红球或黑球的概率;(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率解 法一 (利用互斥事件求概率)记事件 A1任取 1 球为红球,A2任取 1 球为黑球,A3任取 1 球为白球,A4任取 1 球为绿球,则 P(A1),P(A2) ,P(A3) ,P(A4).5124121321216112根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2) ;51241234(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).5124122121112法二 (利用对立事件求概率)(1)由法一知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球,即A1A2的对立事件为 A3A4,所以取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1 .21211234(2)因为 A1A2A3的对立事件为 A4,所以 P(A1A2A3)1P(A4)1112.11121对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)2从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,事件 A 的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由A事件 A 所含的结果组成的集合的补集 创新突破 8全面突破概率与其它知识的综合问题【典例】 (2013新课标全国卷)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位: t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数;(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率;突破1:购进130 t农产品全部售出还是有剩余是解题的关键; 突破2:T为X的函数是分段函数; 突破3:由函数求得利润T不少于57 000元时的X的范围; 突破4:根据直方图估计概率.解 (1)当 X100,130)时,T500X300(130X)800X39 000.当 X130,150时,T50013065 000.所以 TError!Error!(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T不少于 57 000 元的概率
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