4.3 单位圆与诱导公式单位圆与诱导公式(二二) 学习目标 1.掌握诱导公式 1.131.14 的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式 1.81.14，能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生” 、 “发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力知识链接12k(kZ)，2， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限” 2在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有 sin ，cos ，sin ，cosacbc(2)bc .(2)ac根据上述结论，你有什么猜想？答 sincos ；cossin .(2)(2)3若 为任意角，那么 的终边与角 的终边有怎样的对称关系？2答 角 的终边与 的终边关于直线 yx 对称2预习导引1诱导公式 1.131.14(1)公式 1.13：sincos_；cossin_.以 替代公式 1.13 中的 ，可得公式(2)(2)1.14.(2)公式 1.14：sincos_；cossin_.(2)(2)2诱导公式 1.131.14 的记忆： ， 的正(余)弦函数值，等于 的余(正)弦三角函22数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限” 要点一 利用诱导公式求值例 1 已知 cos ， ，求 sin的值(6)35232(23)解 ，23(6)2sinsincos .(23)(6)2(6)35规律方法 利用诱导公式 1.13 和诱导公式 1.14 求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意 与 ， 与 等互余角关系的识别和应用6344跟踪演练 1 已知 sin，求 cos的值(6)33(3)解 coscoscos(3)(3)2(6)sin.(6)33要点二 利用诱导公式证明恒等式例 2 设 m 是整数且 k4m2，若 f(sin x)sin kx，求证：f(cos x)sin kx.证明 f(cos x)fsin(2x)sin sink(2x)(k2kx)sin(2mkx)sin(kx)sin kx.规律方法 诱导公式具有变号、变名的作用，当条件和结论之间有悬殊，需要变名才能使用题干条件，勿忘诱导公式 1.13、1.14 的作用跟踪演练 2 若 f(sin x)2cos 2x，求证：f(cos x)2cos 2x.证明 f(cos x)fsin(2x)2cos 2(2x)2cos2cos 2x.(2x)1已知 sin ，则 cos的值为( )(6)13(3)A B. 2 332 33C. D1313答案 D解析 coscos(3)2(6)sin .(6)132已知 sin(180)sin(270)m，则 sin(180)sin(270)用 m 表示为( )A. B. m212m212C. D1m22m212答案 C解析 sin(180)sin(270)sin(180)sin180(90)sin sin(90)cos sin m，sin(180)sin(270)sin (cos )sin cos 1(cos sin )2.121m223代数式 sin2(A45)sin2(A45)的化简结果是_答案 1解析 原式sin2(A45)sin2(45A)sin2(A45)cos2(A45)1.4求证：.2sin(32)cos(2)112cos2(32)sin cos sin cos 证明 左边2sin(32)sin 112sin22sin(2)sin 112sin22sin(2)(sin )112sin22sin cos 1sin2cos22sin2右边sin cos 2sin2cos2sin cos sin cos 原式成立1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k (kZ)”的诱导公2式当 k 为偶数时，得 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 的异名函数值，然后前面加一个把 看成锐角时原函数值的符号2诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限” ，是记住这些公式的有效方法3. 诱导公式是三角变换的基本公式，其中角 可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通一、基础达标1已知 f(sin x)cos 3x，则 f(cos 10)的值为( )A B. C D.12123232答案 A解析 f(cos 10)f(sin 80)cos 240cos(18060)cos 60 .122已知 sin ，那么 cos 等于( )(52)15A B C. D.25151525答案 C解析 sincos .(52)153已知 sin ，则 cos的值等于( )(4)13(4)A B. C D.13132 232 23答案 A解析 cossin(4)2(4)sinsin .(4)(4)134若 sin()cosm，则 cos2sin(2)的值为( )(2)(32)A B. C D.2m32m33m23m2答案 C解析 sin()cossin sin m，sin .(2)m2故 cos2sin(2)sin 2sin (32)3sin m.325若 cos ，且 是第四象限角，则 cos_.15(2)答案 2 65解析 cos ，且 是第四象限角，15sin .1cos21(15)22 65cossin .(2)2 656sin21sin22sin288sin289_.答案 892解析 原式(sin21sin289)(sin22sin288)(sin244sin246)sin24544 .128927设 f()且 12sin 0，求 f的值2sincoscos1sin2cos(32)sin2(2)(236)解 sin()sin ，cos()cos ，cos()cos ，cossin ，sincos ，(32)(2)f()2sin cos cos 1sin2sin cos22sin cos cos 1cos2sin2sin .2sin cos cos 2sin2sin cos 2sin 1sin 2sin 1cos sin f(236)cos(236)sin(236)cos(46)sin(46).cos6sin63二、能力提升8在ABC 中，下列表达式为常数的是( )Asin(AB)sin C Bcos(BC)cos AC. D.sinAB2cosC2cosBC2cosA2答案 C解析 ABC， ，AB22C2sinsin( )cos .AB22C2C21，故选 C.sinAB2cosC2cosC2cosC29若 sin ，则 cos_.(12)13(712)答案 13解析 coscos(712)2(12)sin .(12)1310若 k4,5,6,7 ，且 sinsin ，(k2)coscos ，则 k 的值是_(k2)答案 4解析 利用验证法，当 k4 时，sin(2)sin ，cos(2)cos 符合条件；当k5,6,7 时，不符合条件故 k4.11已知 sincos，且 cos 0，即 sin cos 0，sin cos 0，sin cos ，1713sin cos ，713得 sin ，得 cos .121351312在ABC 中，sinsin，试判断ABC 的形状ABC2ABC2解 ABC，ABC2C，ABC2B.又sinsin，ABC2ABC2sinsin，2C22B2sin( C)sin( B)，cos Ccos B.22又 B，C 为ABC 的内角，CB.ABC 为等腰三角形三、探究与创新13设 f(n)cos(nN*)，求 f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值(n24)解 f(1)f(2)f(3)f(4)coscoscoscos(24)(4)(324)(24)sin cos sin cos 0.4444f(1)f(2)f(2 012)503f(1)f(2)f(3)f(4)0.f(1)f(2)f(2 015)f(2 013)f(2 014)f(2 015)coscoscos(2 01324)(2 01424)(2 01524)coscoscos(24)(1 0074)(1 00734)sin cos cos 4434.2222(22)22