计数原理、概率计数原理、概率 两个基本计数原理两个基本计数原理导学目标： 理解分类计数原理和分步计数原理，能正确区分“类”和“步” ，并能利 用两个原理解决一些简单的实际问题自主梳理 1分类计数原理 完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m1种不同的方法，在第 2 类方式中有 m2种不同的方法，在第 n 类方式中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法 2分步计数原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不 同的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn 种不同的方法 3分类计数原理与分步计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区 别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以 完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了， 这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类” 思考，分步计数原理是将问题进行“分步”思考 自我检测 1(2009北京改编)用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数 为_ 2. 右图小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线上标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点 B 向结点 A 传递信息，信 息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为_3某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超 过 2 个，则该外商不同的投资方案有_种 4(2010湖北改编)现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由 选择其中的一个讲座，不同选法的种数是_ 5. 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种 颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同着色方法共有_种(以数字作答)探究点一 分类计数原理的应用例 1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？变式迁移 1 方程1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，其中 m1,2,3,4,5，x2my2nn1,2,3,4,5,6,7，那么这样的椭圆有多少个？探究点二 分步计数原理的应用 例 2 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安 排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共 有多少种？变式迁移 2 有 0、1、2、8 这 9 个数字 (1)用这 9 个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？ (2)用这 9 个数字组成四位密码，共有多少个不同的四位密码？探究点三 两个计数原理的综合应用 例 3 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内 只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有_种变式迁移 3 某人有 3 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的 安装方法共有_种(用数字作答)分类讨论思想 例 (14 分)从 1 到 20 这 20 个正整数中，每次取出 3 个，问：它们可以组成多少组不 同的等差数列 多角度审题 本题是一道计数原理与等差数列的综合题，能构成等差数列的三个数有 很多，到底如何取这三个数才能准确的、不重、不漏的找出所有能构成等差数列的三个数 是本题的难点 【答题模板】 解 依题意，要使这三个数成等差数列，公差 d 的取值可以为1，2，9，因此 分 18 类2 分 当 d1 时，可以组成 36 组不同的等差数列；3 分 当 d2 时，可以组成 32 组不同的等差数列；4 分 ； 当 d9 时，可以组成 4 组不同的等差数列 根据分类计数原理，共有 36322884 180(组)不同的等差数列14 分 【突破思维障碍】 由于取出的三个数必须构成等差数列，因此，按照公差的大小来分类能使取出的三个 数不重不漏，那么每一类型有多少个三位数，由于从前往后取，关键看取到最后，由各数 列的特点，就能看出有几个数列，例如：当等差数列的公差为 1 时，能构成等差数列的三 个数为 1 2 3,2 3 4,3 4 5，18 19 20，查个数时，看每组数的第一个数，分别为 1,2,3，18，因此共 18 个等差数列；再例如当公差为 2 时，取到最后剩 17,19, 20.但前 面能构成等差数列的三个数分别为 1 3 5,2 4 6,3 5 7,4 6 8，16 18 20，看每组数的第一个 数分别为 1,2,3，16，共 16 个等差数列 【易错点剖析】 容易遗忘公差为1，2，9 时的情况，有可能找不到公差每增加 1 个单位， 等差数列个数减少 4 个的规律1关于两个计数原理的应用范围：(1)如果完成一件事情有几类办法，这几类办法彼 此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的 方法种数时就用分类计数原理，分类计数原理可利用“并联电路”来理解(2)如果完成一 件事情要分几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这 件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的办法，求完成这件事的方法种数时就用分步计 数原理，分步计数原理可利用“串联”电路理解 2应用两个计数原理的注意事项：(1)要真正理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步(2)分类时要做到不重不漏(3)对于复杂的计数问题，可以分类、分 步综合应用(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1从 1 到 10 的正整数中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是 _ 2某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有 _种 3某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元，某人想 从 01 至 10 中选 3 个连续的号，从 11 至 20 中选 2 个选续的号，从 21 至 30 中选 1 个号， 从 31 至 36 中选 1 个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要_ 元 4如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数共有 _个 5(2010临沂模拟)4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、 乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 21 分，答错得21 分；选乙题答对得 7 分，答 错得7 分若 4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是_ 6设直线的方程是 AxBy0，从 1,2,3,4,5 这五个数中每次取两个不同的数作为 A、B 的值，则所得不同直线的条数是_ 7(2010连云港模拟) 一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复， 则不同的参观路线种数共有_种8电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀 的观众来信，甲信箱中有 30 封，乙信箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先 确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果二、解答题(共 42 分) 9(14 分)从3，2，1,0,1,2,3,4中任选三个不同元素作为二次函数 yax2bxc 的系数，问能组成多少条抛物线经过原点且顶点在第一象限或第三象限？10(14 分)用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数11(14 分)有一个圆形区域被 3 条直径分成 6 块(如图所示)，在每一块区域内种植植 物，相邻的两块区域种植不同的植物，现有 4 种不同的植物选择，一共有多少种不同的种 植方法学案学案 6060 两个基本计数原理两个基本计数原理 答案答案自我检测 1328 解析 若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：当个位上是 0 时，共有 9872(种)情况；当个位上是不为 0 的偶数时，共有 488256(种)情况综上， 共有 72256328(种)情况 219 解析 本题只要类比成供水系统中水管的最大流量问题即可由 B 到 A，单位时间内 第一条网线传递的最大信息量为 3，第二条网线传递的最大信息量为 4，第三条网线传递的 最大信息量为 6，第四条网线传递的最大信息量为 6，由分类计数原理，得 346619. 360 解析 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目 不超过 2 个，则可分两类：第一类，在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目，此时有 34336(种)方案；第二类，在三个城市各投资 1 个项目，有 43224(种)方案， 共计有 362460(种)方案 456 解析 由分步计数原理得 55555556. 572 解析 根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，有 43224(种)方法； 第二类，用四种颜色着色，有 243248(种)方法 从而共有 244872(种)方法 课堂活动区例 1 解题导引 根据十位上 的数分类确定个位数字大于 十位数字的两位数分类计数原理结果应用分类计数原理，首先根据问题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件 事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类 解 根据题意，十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满 足题目要求的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个 由分类计数原理知，符合题意的两位数共有 8765432136(个) 变式迁移 1 解 以 m 的值为标准分类，分为五类 第一类：m1 时，使 nm，n 有 6 种选择；第二类：m2 时，使 nm，n 有 5 种选择； 第三类：m3 时，使 nm，n 有 4 种选择； 第四类：m4 时，使 nm，n 有 3 种选择； 第五类：m5 时，使 nm，n 有 2 种选择 共有 6543220(种)方法，即有 20 个符合题意的椭圆例 2 解题导引 考虑队员的 出场次序分步进行分步计数原理结果“分步”是乘法原理的标志要注意在同一类中合理分步的几个原则：分步标准必须 一致；分步要做到步骤关联，步骤连续，步骤独立，确保对每一类事件的分步不重不 漏这样才能保证使用分步计数原理时的正确性 解 按出场位置顺序逐一安排第一位置队员的安排有 3 种方法；第二位置队员的安 排有 7 种方法；第三位置队员的安排有 2 种方法；第四位置队员的安排有 6 种方法；第五 位置队员的安排只有 1 种方法 由分步计数原理知，不同的出场安排方法有 37261252(种) 变式迁移 2 解 (1)未强调四位数的各位数字不重复，只需首位不为 0，依次确定千、 百、十、个位，各有 8、9、9、9 种方法， 共能组成 8935 832(个)不同的四位数 (2)每一位上的数字都有 9 种方法， 共能组成