,第三章 轴向拉压变形,本章主要研究: 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 热应力与预应力分析,研究变形,求桁架节点位移 求解静不定,1 拉压杆的变形与叠加原理 2 桁架的节点位移 3 拉压与剪切应变能 4 简单拉压静不定问题 5 热应力与预应力,第三章 轴向拉压变形, 轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题,1 拉压杆的变形与叠加原理, 轴向变形与胡克定律,拉压杆的轴向变形,胡克定律, EA杆截面的抗拉压刚度, Dl伸长为正，缩短为负,轴向变形一般公式,变截面变轴力杆,轴力分段（阶梯形杆）,FNi杆段 i 轴力（设正） n总段数，l伸长为正,取微段dx,微段变形, 横向变形与泊松比,拉压杆的横向变形,横向变形,横向应变,横截面内任一点， 任意面内方向上的应变, 横向变形与泊松比,泊松比,试验表明：在比例极限内，e e ，并异号,m泊松比 (横向变形系数）Poissons Ratio,对于绝大多数各向同性材料,弹性理论证明：等温下各向同性线弹性材料,理论与实验均已证实,E、 G、 m 之间的关系, 叠加原理,算例,1.分段解法,试分析杆 AC 的轴向变形 Dl,2. 分解载荷法,3. 比较,载荷同时作用,载荷单独作用之和,叠加原理（力的独立作用原理）,“ 几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和”,应用条件：载荷的效果（内力、应力、变形）与载荷成线性关系,说明： 1）1-支反力、内力、应力、位移、应变，F -广义载荷：力、力偶矩、分布力； 2）同一点（或截面）处的同类量叠加；, 例 题,例 1-1 长度 l = 54 mm ，内径 di = 15.3 mm，E200 GPa，m=0.3。经预紧后，轴 向变形D l 0.04 mm。试求：(a) 螺拴横截面上的正应力 s (b) 螺拴的横向变形 Dd,解：1. 横截面正应力,2. 螺拴横向变形,螺拴直径缩小 0.0034 mm,横截面内任一点、 在任一方向上的应变,叶片,例 1-2 图示涡轮叶片，单位体积的质量为r ，求叶片横截面上的正应力与轴向变形,解：1. 叶片外力,作用在 dx 微段上的离心力：,2. 叶片轴力与应力,x 处的向心加速度：,x 截面的轴力：,x 截面的应力：,3. 叶片的轴向变形,2. 叶片轴力与应力, 节点位移分析 小变形概念 例题,2 桁架的节点位移, 节点位移分析,图示对称桁架，已知 ：E1A1= E2A2=EA，l1=l2=l，试求节点 A 的铅垂位移fA,切线代圆弧, 节点位移分析,1. 轴力与变形分析,图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移，已知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l, 圆弧法作圆弧A1A、A2A, 切线代圆弧法,2. 作图法求节点位移,3. 节点位移计算,将圆弧A1A用 其切线A1A3代替, 小变形概念,小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形,应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束反力与内力刚性假定； 采用切线代圆弧的方法确定节点位移；,内力、应力与载荷成线性,位移与应变成线性, 例 题,解：1. 计算 FN与 Dl,2. 画变形图,3. 位移计算,刚性杆不变形, 应变能概念 轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度 例题,3 拉压与剪切应变能, 应变能概念,应变能与功能原理, 弹性体因变形而储存的能量应变能 Ve, 外力在变形过程中所作之功外力功 W,弹性体功能原理, 功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不计。, 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能 ，数值上等于外力所作的功, 构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移相应位移, 轴向拉压应变能, 线弹性杆的外力功, 线弹性拉压杆的外力功, 线弹性杆的拉压应变能, 拉压与剪切应变能密度,单位体积内应变能应变能密度,拉压应变能密度,剪切应变能密度, 例 题,解：1. 轴力分析,例 3-1 用能量法计算节点 B 的铅垂位移 DBy,2. 应变能计算,3. 位移计算,由,可得,(解析) 求节点A的位移?,P,A,B,C,A,B,C,例 3-2 图示隔振器，钢杆与钢套视为刚体，橡皮的切变模量为 G 。求橡皮管内的应力 t 与钢杆的位移 D,解：1. 应力分析,2. 应变能计算,3. 位移计算, 静不定问题与静不定度 静不定问题分析 例题,4 简单拉压静不定问题, 静不定问题与静不定度, 静不定问题 仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题, 静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差, 静定问题 仅由平衡方程即可确定全部未知力（约束反力与内力）的问题,一度静不定,静定问题,静不定问题, 静不定问题分析,分析方法,求解思路,一度静不定, 建立平衡方程, 分析变形，建立补充方程,E1A1= E2A2,各杆变形间满足一定关系,补充方程,变形协调条件,变形与受力关系, 平衡方程, 变形几何关系,保证结构连续性所应满足的变形几何关系, 胡克定律, 补充方程,变形协调方程,用内力表示的变形协调方程,联立求解平衡与补充方程,综合考虑三方面, 外力与 FNi 之间满足静力平衡方程 各 Dli 之间满足变形协调方程 Dli 与FNi 之间满足给定物理关系（例如胡克定律）,综合考虑静力、几何与物理三方面,静不定问题的内力特点, 内力分配与杆件刚度有关 一般讲，EiAi ，FNi,例 4-1 求两端固定杆的支反力,解：1. 静力学方面 支反力2，平衡方程1，1 度静不定,2. 几何方面,4. 建立补充方程,5. 支反力计算,联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得,3. 物理方面,解：1. 问题分析 未知力4，平衡方程3，一度静不定,2. 画变形与受力图,注意受力图与变形图协调：伸长拉力；缩短压力 先画变形图，判断轴力正负,例 4-2 已知：F = 50 kN，s1 = 160 MPa，s2 = 120 MPa，A1= A2。试问：A1=? A2=?,3. 建立平衡方程,1. 画变形与受力图,注意受力图与变形图协调：伸长拉力；缩短压力 先画变形图，判断轴力正负,一度静不定,3. 建立补充方程,2.建立平衡方程,5. 截面设计,4. 内力计算,例 4-3 试画图示静不定桁架的变形图与受力图,解：1. 画变形图,设节点C位移至 ，过 点向三杆作垂线。,2. 根据变形图，画受力图,4. 解 答, 热应力与初应力概念 例题,5 热应力与初应力,热应力当物体某一部分温度发生变化时，通常，该部分产生热胀冷缩的变形,实验得知，在一定的范围内，当物体的温度发生变化DT= t2-t1时，物体沿一个方向的伸长与该方向的长度和温度变化DT的乘积成正比，即Dl = l DT 比例常数 称为热膨胀系数， t2、t1分别为终止和起始时刻的温度, 热应力与初应力概念,引起应力的非力学因素,1. 温度变化,2. 杆长制造误差d,热应力与初应力, 由于温度变化或杆长制造误差，结构在未受载时即已存在的应力，依次称为热应力与初应力（预应力、装配应力）。, 在静不定结构中，各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件，因此，温度变化或杆长制造误差，一般将引起应力。, 由于温度变化或杆长制造误差，静不定结构将可能存在热应力与初应力静不定结构的特点, 例 题,例 5-1 杆 1 温度升高 DT，求 FN1 ，FN2 与 支座 C 反力,解：1. 画变形图,2. 画受力图,注意分清哪一段是轴向变形 Dl,注意轴力 FN 与轴向变形 Dl 的协调,Dl1,Dl1,3. 建立平衡方程,4. 建立补充方程,5. 计算结果,例 5-2 试建立平衡与补充方程（结构左右对称）,解：,画变形图,预应力,例 如图所示的刚性梁由三根钢杆支承。钢杆的横截面面积均为A，其中中间杆的长度短了D，设杆的弹性模量为E，求三杆横截面上的装配应力。,预应力,解: 以刚性梁为研究对象静不定次数3-2=1,平衡方程,变形协调方程,刚性梁平衡位置的判断问题 轴力分析与变形分析拉压一致,假设装配位置在预定位置下面,本构方程,本构代入几何,得以轴力表示的协调方程,由平衡方程和协调方程,可得,为负说明1, 3为压杆;实际装配位置在预定位置上面, 说明: 关于变形图的画法, 若能直接判断出真实变形趋势，则按此趋势画变形图；, 若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图均可。, 对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可假设各杆均产生拉伸变形，即内力为正(设正法)。若计算结果 为负，则说明真实方向与所设方向相反。,(写变形协调方程时，可先不考虑符号，计算完后加以说明即可),建立协调方程 思考?,