中考数学专题中考数学专题 8 动态几何与函数问题动态几何与函数问题 【例 1】 如图所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与x轴负半轴上.过点 B、C 作直线l. 将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点 D，与 y 轴交于点 E. （1）将直线l向右平移，设平移距离 CD 为t（t0） ，直角梯形 OABC 被直线l扫过的面积（图中阴 影部份）为s，s关于t的函数图象如图所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且 NQ 平行于 x 轴，N 点横坐标为 4，求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积. （2）当2 4t 时，求 S 关于t的函数解析式. 【解】 （1）由图（2）知，M点的坐标是（2，8） 由此判断： 24ABOA， ； N点的横坐标是 4， NQ 是平行于x轴的射线， 4CO 直角梯形OABC的面积为： 11 24412 22 ABOCOA . (3 分) （2）当2 4t 时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC的面积 ODE 的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形 面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) 1 12 2 SOD OE 1 4 2 OD ODt OE ， 2 4OEt . 21 122 44124 2 Sttt 2 84Stt . 【例 2】已知：在矩形AOBC中， 4OB ， 3OA 分别以OB OA， 所在直线为x轴和 y 轴，建立如 图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与 BC， 重合） ，过F点的反比例函数 (0) k yk x 的图象与 AC边交于点E （1）求证： AOE 与 BOF 的面积相等； （2）记 OEFECF SSS ，求当k为何值时，S有最大值， 最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F，使得将 CEF 沿EF对 折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）证明：设 11 ()E xy， ， 22 ()F xy， ， AOE 与 FOB 的面积分别为 1 S ， 2 S ， 由题意得 1 1 k y x ， 2 2 k y x 111 11 22 Sx yk ， 222 11 22 Sx yk 12 SS ，即 AOE 与 FOB 的面积相等 （2）由题意知：E F， 两点坐标分别为 3 3 k E ， ， 4 4 k F ， ， 1111 43 2234 ECF SEC CFkk A ， 11 1212 22 EOFAOEBOFECFECFECFAOBC SSSSSkkSkS 矩形 111 12212243 234 OEFECFECF SSSkSkkk 2 1 12 Skk 当 1 6 1 2 12 k 时，S有最大值 1 3 1 4 12 S 最大值 （3）解：设存在这样的点F，将 CEF 沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作 ENOB ，垂足为N 由题意得： 3ENAO ， 1 4 3 EMECk ， 1 3 4 MFCFk ， 90EMNFMBFMBMFB ， EMNMFB 又 90ENMMBF ， A B M C D P Q 图 1 ENMMBF ENEM MBMF ， 1 1 4 1 4 312 3 11 33 1 412 k k MB kk ， 9 4 MB 222 MBBFMF ， 222 91 3 444 k k ，解得 21 8 k 21 432 k BF 存在符合条件的点F，它的坐标为 21 4 32 ， 【例 3】如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停 止运动。设运动的时间为 t（秒） 。 （1）设BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （2）当 t 为何值时，以 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）是否存在时刻 t，使得 PQBD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 【解析】解： （1）如图 1，过点 P 作 PMBC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形。 PMDC12 QB16t，S 1 212(16t)96t （2）由图可知：CMPD2t，CQt。热以 B、P、Q 三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。 若 PQBQ。在 RtPMQ 中， 222 12PQt ，由 PQ2BQ2 得 222 12(16)tt ，解得 t 7 2； 若 BPBQ。在 RtPMB 中， 222 (162 )12BPt 。由 BP2BQ2 得： 222 (162 )12(16)tt 即 2 3321440tt 。由于 7040 2 3321440tt 无解，PBBQ 若 PBPQ。由 PB2PQ2，得 2222 12(162 )12tt 整理，得 2 3642560tt 。解得 12 16 16 3 tt， （舍） 综合上面的讨论可知：当 t 716 23 t 秒或 秒时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （3）设存在时刻 t，使得 PQBD。如图 2，过点 Q 作 QEADS，垂足为 E。由 RtBDCRt QPE， 得 DCPE BCEQ ，即 12 1612 t 。解得 t9 所以，当 t9 秒时，PQBD。 【例 4】在 RtABC 中，C=90，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向 点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的 速度向点 B 匀速运动伴随着 P、Q 的运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t0） （1）当 t = 2 时，AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 解：（1）1， 8 5； （2）作 QFAC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t， 3APt 由AQFABC， 22 534BC ， 得 45 QFt 4 5 QFt 14 (3) 25 Stt ， 即 2 26 55 Stt （3）能 当 DEQB 时，如图 4 DEPQ，PQQB，四边形 QBED 是直角梯形 此时AQP=90 PAE E D CQB O 图 2 AC B P Q E D 图 4 AC ) B P Q D 图 3 E ) F AC B P Q E D 图 5 AC B P Q E D 由APQ ABC，得 AQAP ACAB ， 即 3 35 tt 解得 9 8 t 如图 5，当 PQBC 时，DEBC，四边形 QBED 是直角梯形 此时APQ =90 由AQP ABC，得 AQAP ABAC ， 即 3 53 tt 解得 15 8 t （4） 5 2 t 或 45 14 t 【注：点 P 由 C 向 A 运动，DE 经过点 C 方法一、连接 QC，作 QGBC 于点 G，如图 6 PCt ， 222 QCQGCG 22 34 (5)4(5) 55 tt 由 22 PCQC ，得 222 34 (5)4(5) 55 ttt ，解得 5 2 t 方法二、由CQ CPAQ ，得 QACQCA ，进而可得 BBCQ ，得CQ BQ ， 5 2 AQBQ 5 2 t 点 P 由 A 向 C 运动，DE 经过点 C，如图 7 222 34 (6) (5)4(5) 55 ttt ， 45 14 t 【例 5】如图，在Rt ABC 中， 90A ， 6AB ， 8AC ，D E， 分别是边AB AC， 的中点， 点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作 PQBC 于Q，过点Q作QR BA 交AC于 R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ x ，QR y （1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求 y 关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ； （3）是否存在点P，使 PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在， 请说明理由 A C(E) ) B P Q D 图 6 G A C(E) ) B P Q D 图 7 G A BC D E R P H Q 解：（1） RtA，6AB ， 8AC ， 10BC 点D为AB中点， 1 3 2 BDAB 90DHBA ， BB BHDBAC ， DHBD ACBC ， 312 8 105 BD DHAC BC A （2） QRAB ， 90QRCA CC ， RQCABC ， RQQC ABBC ， 10 610 yx ， 即 y 关于x的函数关系式为： 3 6 5 yx （3）存在，分三种情况： 当 PQPR 时，过点P作 PMQR 于M，则QM RM 1290 ， 290C ， 1C 84 cos 1cos 105 C ， 4 5 QM QP ， 13 6 425 12 5 5 x ， 18 5 x 当 PQRQ 时， 312 6 55 x ， 6x 当 PRQR 时，则R为 PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点， 11 2 24 CRCEAC A BC D E R P H Q M 2 1 A BC D E R P H Q A BC D E R P H Q tan QRBA