1空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用【考纲说明考纲说明】1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题； 2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题； 3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理知识梳理】1、空间向量的运算空间向量的运算 1、向量的几何运算 （1）向量的数量积： 已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质： ； ； （2）向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使0a a rr rbrbarr2、向量的坐标运算（1）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若 ， ，则 ， ， ；，（3）夹角公式：2（4）两点间的距离公式：若 ， ，则 二、空间向量在立体几何中的应用二、空间向量在立体几何中的应用 2.利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明 3.3.利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用进行证明；4.4.利用空间向量求角度 （1）线线角的求法：线线角的求法：设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a、b，则直线 AB 与 CD 所成的角为 （线线角的范围 00,900）（2）线面角的求法：线面角的求法：设 n 是平面的法向量，是直线 的方向向量，则直线 与平面所成的角为（3）二面角的求法：二面角的求法： 设 n1，n2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则 就是二面角的平面角 或其补角的大小（如图）5.5.利用空间向量求距离 （1）平面的法向量的求法：平面的法向量的求法： 设 n=(x,y,z)，利用 n 与平面内的两个不共线的向 a，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取 其一组解，即得到平面的一个法向量（如图） 。3（2）利用法向量求空间距离利用法向量求空间距离（a） 点 A 到平面的距离： ，其中，是平面的法向量。（b） 直线与平面之间的距离： ，其中，是平面的法向量。（c） 两平行平面之间的距离： ，其中， 是平面的法向量。【经典例题经典例题】【例 1】 （2010 全国卷 1 理）正方体 ABCD-1111ABC D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（ ）（A）2 3（B）3 3（C）2 3（D）6 3【解析】D【例 2】 （2010 全国卷 2 文）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）（A） 3 4(B) 5 4(C) 7 4(D) 3 4【解析】D【例 3】 （2012 全国卷）三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，111ABCABC，则异面直线与所成角的余弦值为_。1160BAACAA o 1AB1BC【解析】66ABCSEF4【例 4】 （2012 重庆）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D 为 AB 的中点。（）求异面直线 CC1和 AB 的距离； （）若 AB1A1C，求二面角 A1CDB1的平面角的余弦值。【解析】 531【例 5】（2012 江苏）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D 不111ABCABC1111ABACDE，1BCCC，同于点C） ，且为的中点 ADDEF，11BC1B求证：（1）平面平面；ADE 11BCC B（2）直线平面ADE1/AF【例 6】 （2012 山东）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面 ABCD，AEBD，CB=CD=CF（）求证：BD平面 AED； （）求二面角 F-BD-C 的余弦值1.【解析】二面角 F-BD-C 的余弦值为55【例 7】 （2012 江西）在三棱柱中，已知，点在底面的投111ABCABC15ABACAA4BC 1AABC影是线段的中点。BCO（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的1AAEOE 11BBC CAE长；（2）求平面与平面夹角的余弦值。11ABC11BBC C【解析】，55 1030B1C1OACBA11A1C FECDAB5PABCED【例 8】 （2012 湖南）四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点. （）证明：CD平面 PAE； （）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的体积.【解析】118 5128 51633515VSPA【例 9】 （2012 广东）如图所示，在四棱锥中，平面，是PABCDAB PAD/ /,ABCD PDADE中点，是上的点，且，为中边上的高。PBFDC1 2DFABPHPADAD（1）证明：平面；PH ABCD（2）若，求三棱锥的体积；1,2,1PHADFCEBCF（3）证明：平面EF PAB【解析】三棱锥的体积EBCF111112123326212BCFVShFCADh 【例 10】 （2012 新课标）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD21（1）证明：DC1BC； （2）求二面角A1BDC1的大小【解析】二面角的大小为11CBDA30【例 11】如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面点在线段上，PABCDABCDPA ABCDEPC 平面PC BDE（1）证明：平面；BD PAC （2）若，求二面角的正切值1PA 2AD BPCA【解析】二面角的平面角的正切值为 3BPCA【例 12】 （2012 天津）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，PABCDPAABCDACADABBCDCB APDA1B1CABC16，.0=45ABC=2PA AD=1AC()证明丄；PCAD （）求二面角的正弦值；APCD（）设 E 为棱上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为，求 AE 的长.PA030【解析】，630 1010【课堂练习课堂练习】1、 （2012 上海）若) 1 , 2(n是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （用反三角函数值表示）2、 （2012 四川）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与1111ABCDABC DMNCD1CC1AM所成角的大小是_。DN3、 （2012 全国卷）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，PABCDABCDPA ABCD2 2AC ，是上的一点，。2PA EPC2PEEC （）证明：平面；PC BED（）设二面角为，求与平面所成角的大小。APBC90oPDPBC4、 （2010 辽宁理）已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N 为 AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. （）证明：CMSN； （）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.5、 （2010 辽宁文）如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCC B是菱形，11BCABNMB1A1C1D1BDCAECBDAP7（）证明：平面1ABC平面11ABC；（）设D是11AC上的点，且1/AB平面1BCD，求11:AD DC的值.6、 （2010 全国文）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3 EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC1-B1的大小7、 （2010 江西理）如图BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，2 3AB 。（1）求点 A 到平面 MBC 的距离； （2）求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。8CBADEP8、 （2010 重庆文）四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点.（）证明：AE 平面PBC； （）若1AD ，求二面角BECD的平面角的余弦值.9、 （2010 浙江文）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成ADE，使平面 ADE平面 BCD，F 为线段 AC 的中点。 （）求证：BF平面 ADE； （）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值。10、 （2010 重庆理）四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA底面 ABCD，PA=AB=6，点 E 是棱 PB 的中点。（1）求直线 AD 与平面 PBC 的距离；（2）若 AD=3，求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值。11、 （2010 北京理）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=2，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE； （）求证：CF平面BDE； （）求二面角A-BE-D的大小。912、如图，弧 AEC 是半径为a的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点，平面AEC 外一点 F 满足 FC平面 BED,FB=a5（1）证明：EBFD （2）求点 B 到平面 FED 的距离. 13、 （2010 江苏卷）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。 (1)求证：PCBC； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。14、 （2012 上海）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积； （2）异面直线BC与AE所成的角的大小. 15、 （2012 四川）如图，在三棱锥中，平面平面PABC90APBo60PABoABBCCAPAB 。ABC （）求直线与平面所成角的大小；PCABC （）求二面角的大小。BAPCABCP16图 图ABDPC1016、 （2012 安徽）长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。1111DCBAABCD1111DCBAOBDE1AA（）证明： ；BD1EC（）如果=2，=，,求 的长。ABAE21ECOE 1AA17、 （2012 北京文）如图 1，在中，分别为的中点，点为线段上的一Rt ABC90Co,D E