1立体几何解题技巧及高考类型题立体几何解题技巧及高考类型题老师专用老师专用【命题分析】高考中立体几何命题特点：高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在 17-22 分之间，题型一般为 1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.【高考考查的重难点】空间距离和角“六个距离”：1、两点间距离 ；2 212 212 21)()()(dzzyyxx2、点 P 到线 l 的距离 （Q 是直线 l 上任意一点，u 为过点 P 的直线 l 法向量） ；uuPQ* d 3、两异面直线的距离 （P、Q 分别是两直线上任意两点，u 为两直线公共法向量） ；uuPQ* d 4、点 P 到平面的距离 （Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量） ；uuPQ* d 5、直线与平面的距离（P 为直线上的任意一点、Q 为平面上任意一点，u 为平面法向量） ；uuPQ* d 6、平行平面间的距离 （P、Q 分别是两平面上任意两点，u 为两平面公共法向量 ） ； uuPQ* d 2“三个角度”：1、异面直线角0，cos= ;【辨】直线倾斜角范围0，） ；22121 vvvv2、线面角 0， ，sin= 或者解三角形；2nvvnnv,cos3、二面角 0，cos 或者找垂直线，解三角形。2121 nnnn不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，证是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题典型例题 1、 （福建卷）如图，正三棱柱的所有棱长都为 ，为中点111ABCABC2D1CC（）求证：平面；1AB 1ABD（）求二面角的大小；1AADB（）求点到平面的距离C1ABD考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解：解法一：（）取中点，连结BCOAO3为正三角形，ABCAOBC正三棱柱中，平面平面，G111ABCABCABC11BCC B平面AO11BCC B连结，在正方形中，分别为1BO11BBC COD，的中点， ， 1BCCC，1BOBD1ABBD在正方形中， 平面11ABB A11ABAB1AB1ABD（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面1AB1ABG1ABD1GFADFAF1AB 1ABD， 为二面角的平面角1AFADAFG1AADB在中，由等面积法可求得，1AAD4 5 5AF 又， 1122AGAB210sin44 5 5AGAFGAF所以二面角的大小为1AADB10arcsin4（）中，1ABD 11152 26A BDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，到平面的距离为1A11BCC B3设点到平面的距离为C1ABDd由，得， 11ABCDCA BDVV 111333BCDA BDSSdAA132 2BCDA BDSdS点到平面的距离为C1ABD2 24解法二：（）取中点，连结BCOAO为正三角形，ABCAOBC在正三棱柱中，平面平面，111ABCABCABC11BCC B平面AD11BCC B取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则11BC1OOOB 1OO OA xyz，(10 0)B ，( 110)D ，1(0 23)A，(0 03)A ，1(12 0)B，1(123)AB，( 210)BD ，1( 123)BA ，12200AB BD A111430AB BA A， 1ABBD 11ABBA平面1AB1ABD（）设平面的法向量为1A AD()xyz，n， ，( 113)AD ，1(0 2 0)AA ，AD n1AAn100ADAA AA，nn30 20xyz y ， ，03yxz ，令得为平面的一个法向量1z (3 01) ，n1A AD由（）知平面，1AB 1ABD为平面的法向量1AB1ABD，cos n1 11336 42 2 2ABAB AB A AAnnx5二面角的大小为1AADB6arccos4（）由（） ，为平面法向量，1AB1ABD1( 2 0 0)(123)BCAB ，点到平面的距离C1ABD1122 22 2BC AB d AB A 小结：本例（）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B 点到平面的距离转化为容易求的点 K 到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；1AMB1AMB解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这种方法.考点 2 异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.典型例题典型例题 2、 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为 2，且垂直于底面.ABCS 24SC分别为的中点，求 CD 与 SE 间的距离.DE、ABBC、思路启迪：由于异面直线 CD 与 SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解：如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，为的中位线，面,EFBCDEFCDCD ,SEF到平面的距离即为两异面直线间的距离.CDSEF又线面之间的距离可转化为线上一点 C 到平面CDSEF的距离，设其为 h，由题意知，,D、E、F 分别是24BCAB、BC、BD 的中点，62,2,621,62SCDFCDEFCD33222621 31 21 31SCDFEFVCEFS在 Rt中，SCE3222CESCSE在 Rt中，SCF30224422CFSCSF又3, 6SEFSEF由于，即，解得hSVVSEFCEFSSEFC31 332331h332h故 CD 与 SE 间的距离为.332小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点 3 直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.典型例题典型例题 3 如图，在棱长为 2 的正方体中，G 是的中点，求 BD 到平面的距离.1AC1AA11DGB思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解：解法一 平面，BD11DGB上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求BD11DGB点 O 平面的距离,11DGB，平面,1111CADBAADB11111DB11ACCA又平面11DB11DGB7平面，两个平面的交线是,1111DGBACCAGO1作于 H，则有平面，即 OH 是 O 点到平面的距离.GOOH1OH11DGB11DGB在中，.OGO122221 2111AOOOSOGO又.362,2321 2111OHOHGOOHSOGO即 BD 到平面的距离等于.11DGB362解法二 平面，BD11DGB上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点 B 平面的距离.BD11DGB11DGB设点 B 到平面的距离为 h，将它视为三棱锥的高，则11DGB11DGBB , ，由于632221, 111111DGBGBBDDGBBSVV3422221 3111GBBDV,36264h即 BD 到平面的距离等于.11DGB362小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识（余弦定理、正弦定理、射线定理（） ）求解，整个求解过程可概12coscoscos8括为：一找二证三求。（2）求异面直线所成角的步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。因为异面直线所成的角的范围是 090，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3、 “补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。方法总结：直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法典型例题典型例题 4、 长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的大小。选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念，熟练掌握异面直线所成角的求法。分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：解法一：如图连结 B1C 交 BC1于 0，过 0 点作 OEDB1，则BOE 为所求的异面直线 DB1与 BC1所成的角。连结 EB，由已知有 B1D=，BC1=5，BE=，BOE= BOE=343 5 2cos7 34 170cosarc7 34 1709解法二：解法二：如图，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OEDB1，过 E 点作 EFC1B，则OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过 O 点作 OMDC，连结 MF、OF。则 OF=，OEF=，异面直线73 2cos7 34 170B1D 与 BC1所成的角为。cosarc7 34 170解法三：解法三：如图，连结 D1B 交 DB1于 O，连结 D1A，则四边形 ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点 O