高等数学（下）高等数学（下）第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用一、基本概念 1多元函数 （1）知道多元函数的定义元函数：n),(21nxxxfy（2）会求二元函数的定义域1：分母不为；0 2：真数大于；0 3：开偶次方数不小于；04：或中uzarcsinuarccos|u1（3）会对二元函数作几何解释 2二重极限 Ayxfyyxx),(lim00这里动点是沿任意路线趋于定点的),(yx),(00yx（1）理解二重极限的定义 （2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法） 3多元函数的连续性（1）理解定义：)()(lim0 0PfPf PP （2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论； （3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1偏导数 （1）理解偏导数的定义（二元函数）xyxfyxxf xzx),(),(lim00000yyxfyyxf yzy),(),(lim00000（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系 （3）求偏导数法则、公式同一元函数 2高阶偏导数 （1）理解高阶偏导数的定义 （2）注意记号与求导顺序问题（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：xyz yxz 223全微分 （1）知道全微分的定义若可表示成，则),(),(0000yxfyyxxfz)(oyBxA在点处可微；称为此函数在点处的全微分，),(yxfz ),(00yxyBxA),(00yx记为yBxAdz（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件： 函数可微，偏导数必存在；函数可微，偏导数必存在；（，；）xzAyzBdyyzdxxzdz偏导数存在，不一定可微偏导数存在，不一定可微（是否为） dzz )(o偏导数连续，全微分必存在偏导数连续，全微分必存在（3）求方向导数、梯度三、多元复合函数与隐函数求导法则 1多元复合函数的求导法则（1）xv vz xu uz xz yv vz yu uz yz （2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导 法要熟练掌握 （3）掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法 2隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形若确定了，则；0),(yxF)(xyy yx FF dxdy若确定了，则，0),(zyxF),(yxzz zx FF xzzy FFyz（2）方程组的情形若能确定，则由 0),(0),(zyxGzyxF )()(xzzxyy可解出与；dxdy dxdz若确定了，像上边一样，可以求出， 0),(0),(vuyxGvuyxF),(yxuu ),(yxvv xu 及，xv yu yv 四、多元函数微分法的应用 1几何应用 （1）空间曲线的切线与法平面方程1：曲线：，时，上相应点处)(tx)(ty)(tz0tt ),(000zyx的切线方程：)()()(000000 tzz tyy txx 法平面方程：0)()()(000000zztyytxxt2：曲线：，则点处的切线方程： )()(xzxy),(000zyx000001()()xxyyzz xx法平面方程：00000()()()()()0xxxyyxzz3：曲线：，则点处的切线方程为 0),(0),(zyxGzyxF),(000zyxPPyxyxPxzxzPzyzy GGFFzzGGFFyyGGFFxx000法平面方程：0)()()(000zzGGFFyyGGFFxxGGFFPyxyxPxzxzPzyzy（2）空间曲面的切平面与法线方程1：曲面：，点处的切平面方程为：0),(zyxF),(000zyx0)(),()(),()(),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx法线方程：zyxFzz Fyy Fxx0002：曲面：，在点处的切平面方程为：),(yxfz ),(000zyx)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx法线方程为：1000 zz fyy fxxyx2极值应用（1）求一个多元函数的极值（如）：先用必要条件，求出全部驻点，),(yxfz 00yzxz再用充分条件求出驻点处的，与；xxzyyzxyz，时有极大值，时有极小值；02 BAC0A0A时无极值02 BAC（2）求最值 1：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2：有实际意义的最值问题 （3）条件极值 求一个多元函数在一个或个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法m如：在条件与下的极值时，取),(zyxfu 0),(1zyx0),(2zyx),(),(),(),;,(221121zyxzyxzyxfzyxF解方程组，求出，0000021 zyxFFFxyz则就是可能的极值点；再依具体问题就可判定为极大（或极小）值),(zyx),(zyx点第九章第九章 重积分重积分一、 二重积分1定义： niiiinDfdyxf1)(0),(lim),( 2几何意义：当时，表示以曲面为顶，以为底),(yxf0 Ddyxf),(),(yxfz D的曲顶柱体体积物理意义：以为密度的平面薄片的质量),(yxfD3性质1：DDdyxfkdyxkf),(),(2：DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(3：若，则21DDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf4：时，1),(yxfD Ddyxf),(5：若在上，则D),(yx),(yx Ddyx),( Ddyx),(Ddyxf),( , )Df x y d6：若在闭区域上连续，且，则),(yxfDm),(yxfMDm Ddyxf),(DM7：（中值定理）若在闭区域上连续，则必有点，使),(yxfDD),(D Dfdyxf),(),(4二重积分的计算法 （1）在直角坐标系中1：若积分区域为型区域DX：D )()(21xyxbxa则化为先后的二次积分：yxbaxx Ddyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Oxy)(1xy ab)(2xyX型区域Oxy)(1yx cd)(2yxY 型区域OrD极点在外D极点在的边界上r OO rD极点在内2：若积分区域为型区域DY：D )()(21yxydyc则化为先后的二次积分：xydcyy Ddxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(（2）在极坐标系中,)sin,cos(),(rrfyxfrdrdd1：极点在外：D：D )()(21r则有)()(21)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD2：极点在的边界上：D：D )(0r则有)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD3：极点在内：D：D )(020r则有20)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD在计算二重积分时要注意：在计算二重积分时要注意：1：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有或两个积分变量22yx 之比、时，一般可选择极坐标系xy yxOyxz),(2yxzz ),(1yxzz xyDOyxz0zD2C1C0z2：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出 的情况（二次积分换次序） 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：关于轴（或轴）Dxy 对称时，应配合被积函数对于（或）的奇偶性yx4：若，积分区域:,则二重积分可化为两个定积)()(),(21yfxfyxfD dycbxa分的乘积二、 三重积分1定义： niiiiinvfdvzyxf1)(0),(lim),( 2物理意义：以为密度的空间体的质量),(zyxf3性质（与二重积分类同） 4三重积分的计算法 （1）在直角坐标系中1：若为： ),(),(),(21yxzzyxzDyxxy此处为在面上的投影，xyDxOy与分别为的),(1yxzz ),(2yxzz 下界面和上界面方程，则 xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(2：若为： 0),(0201zDzyxCzC此处为用平面截时所得的截面面积， 0zD0zz 则210),(),(CC Dzdxdyzyxfdzdxdydzzyxf（2）在柱面坐标系下若为：，则 ),(),()()(2121 rzzrzr),(),()()(2121),sin,cos(),(rzrzdzzrrfrdrddxdydzzyxf（3）在球面坐标系中若为：，则 ),(),(212121z212121),(),(2sin)cos,sinsin,cossin(),(dfdddxdydzzyxf注：1：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求； 2：三重积分的计算也有选系、选序的问题； 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4：若是长方体：，而，则三重积分 fzedycbxa )()()(),(321zfyfxfzyxf化为三个定积分的乘积三、 重积分的应用 1几何应用（1） 求面积：DDd（2） 求体积：， Ddyxf),( dv（3） 求曲面面积：若：，在面上的投影为，则的面积为：),(yxfz xOyxyD xyDdxdyyz xzA22 12物理应用（1） 求质量：；Ddyxm),( dvzyxm),(（2） 求重心：；Ddyxxmx),(1Ddyxymy),(1在均匀情况下，重心公式可变形为：；DDxdx1DDydy1同理，可得到空间体的重心坐标 （3） 求转动惯量：；DxdyxyJ),(2Dydyx