必修 3学案学案 3.3.23.3.2 几何概型几何概型(2)(2) 姓名 学习目标学习目标：1. 了解均匀随机数的概念； 2. 掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法； 3. 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题 知识情境：知识情境：1. 基本事件基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件基本事件. . 基本事件的两个特点两个特点: 10.任何两个基本事件是 的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 . .2. 古典概型古典概型的定义古典概型有两个特征：古典概型有两个特征： 10.试验中所有可能出现的基本事件 ； 20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同 具有这两个特征的概率称为古典概率模型具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型古典概型. . 3. 古典概型古典概型的概率公式, 设一试验有 n 个等可能的基本事件，而事件 A 恰包含其中的 m 个 基本事件，则事件事件 A 的概率的概率 P(A)定义定义为：. .( )P A 4.几何概型的概念几何概型的概念：10.将每个基本事件基本事件理解为从某个特定的几何 ，该区域中每 一点被取到的机会都一样； 20.一个随机事件的发生随机事件的发生理解为恰好取到取到上述区域内的 用这种方法处理随机试验，称为几何概型几何概型 5.几何概型的概率公式：几何概型的概率公式：在区域中随机地取一点, 记事件该点落在其内部一个区DA 域内，则事件发生的概率为：dA. .( )P A 自我评价：自我评价： 1. (1)在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求求：小于的概率ABCABMAMAC(2) ，60AOB2OA 5OB 在线段上任取一点，OBC 试求求： 为钝角三角形的概率AOC2. 有一个半径为的圆，现在将一枚半径为 硬币向圆投去，51 如果不考虑硬币完全落在圆外的情况， 试求求：硬币完全落入圆内的概率3. (会面问题)两人相约 7 点到 8 点在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 过时离去 求求：两人会面的概率4. 某路公共汽车 5 分钟一班准时到达某车站，求求：任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的 概 率（假定车到来后每人都能上）问题探究问题探究：用随机模拟的方法估计圆周率的值估计圆周率的值.在如图的正方形中, 随机地撒一把豆子, 每个豆子落在正方形内每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的任何一点是等可能的, 落在每个区域的豆子数与这个区域的面落在每个区域的豆子数与这个区域的面 积成正比积成正比. 即即圆的面积落在圆中的豆子数 正方形的面积落在正方形的豆子数假设正方形的边长为 2, 则2 24圆的面积 正方形的面积由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的, 所以4落在圆中的豆子数 落在正方形的豆子数这样一来就得到了得到了的近似值的近似值. 可以发现, 随着试验次数的增加, 的近似值的近似值的精确度会越来越高.感悟感悟：利用几何概型利用几何概型, 并通过随机模拟的方法可以近似地计算不规则图形的面积可以近似地计算不规则图形的面积.例题学习：例题学习：例例 1 利用随机模拟的方法计算所围成的图形(图中阴影部分)的面积. 21yyx和解解 (1)利用计算器或计算器产生两组 01 区间的均匀随机数, ;1,aRAND bRAND(2)进行平移和伸缩变换: 1()aa(3)数出落在阴影内的点数: 即满足 的数对.1N( , )a b(4)用几何概型公式计算阴影部分)的面积.假如做 1000 次实验, 即, 数得, 那么.1000N 1698N S 例例 2 利用随机模拟的方法计算曲线，和所围成的图形的面积.1yx1x 2x 0y 试一试试一试 .如图,某人向圆内投镖, 如果他每次都投入圆内， 那么他投中正方形区域的概率为（ ） A2 B1 C2 3D1 3 .如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，45 若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内， 第 1 题 那么他投中阴影部分的概率为（ ） xBi 第 2 题 A1 8B1 4C1 2D3 4 .现有的蒸馏水, 假定里面有一个细菌,现从中抽取的蒸馏水, 100ml20ml 则抽到细菌的概率为( ) A1 100B1 20C1 10D1 5 4.利用随机模拟的方法近似计算所围成区域的面积.21,6yxy参考答案参考答案: : 区域内随机地取一点区域内随机地取一点 某个指定区域中的点某个指定区域中的点 自我评价自我评价： 1.（1）分析：点随机地落在线段上，故线段为区域当点位于图中线段MABABDM AC 内时，故线段即为区域AMACACd 解解：在上截取于是ABACAC 答：小于的概率为概率为()()P AMACP AMACAC ABAC AB2 2AMAC2 2（2）解解：如图，由平面几何知识：当时，；ADOB1OD 当时，OAAE4OE 1BE 当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形CODBEAOC记为钝角三角形为事件，则AOCM1 1()0.45ODEBP MOB即为钝角三角形的概率为概率为AOC0.4 2. 解解：由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为的圆内，且只有中心落入与圆同心且半径为6OO 的圆内时，硬币才完全落如圆内4记硬币完全落入圆内为事件，则A2244( )69P A A A答：硬币完全落入圆内的概率为概率为4 93. 因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲乙两人各自到达的时刻）组 成 以 7 点钟作为计算时间的起点，设甲乙各在第 x 分钟和第 y 分钟到达，则样本空间为 :(x,y) | 0x60,0y60,画成图为一正方形会面的充要条件是|xy| 20， 即事件 A=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分P(A)=4. 可以认为人在任一时刻到站是等可能的 设上一班车离站时刻为，a 则某人到站的一切可能时刻为 = (,+5)，记 A=等车时间少于 3 分钟，a a 则他到站的时刻只能为 g = (+2, +5)中的任一时刻，aa故 P(A)= 例例 2解：（）利用计算器或计算机产生两组到 区间上的随机数，01，；1aRANDbRAND（）进行平移变换：；（其中分别为随机点的横坐标和纵坐标）11aa, a b95 60)2060(60 222 的面积的面积g53的长度的长度g（）数出落在阴影内的点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积1N例如，做次试验，即，模拟得到，10001000N 1689N 所以 ，即10.6891SN N0.689S