9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设直线 l：AxByC0 (A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2 (r0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 .方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，2 1圆 O2：(xa2)2(yb2)2r (r20).2 2方法位置关系几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|2k211，解得0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点.(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长AB|x1x2|1k222 ，84k11k21k2114k31k2令 t，则 tk24k(t3)0，4k31k2当 t0 时，k ，当 t0 时，因为 kR，34所以 164t(t3)0，解得1t4，且 t0，故 t的最大值为 4，此时 AB 最小为 2.4k31k27方法二 (1)证明 圆心 C(1，1)到直线 l 的距离 d，圆 C 的半径|k2|1k2R2，R2d212，而在 S11k24k8 中，3k24k41k211k24k81k2(4)241180 对 kR 恒成立，所以 R2d20，即 d1，点 P 在圆外.1a2b2a2b2(2)圆 x2y22y0 的圆心是(0,1)，半径 r1，则圆心到直线 l 的距离 d0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，2a2x23则 MN时，a 的最大值与最小值分别为_、_.思维启迪 本题条件 MN反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解.解析 因为集合 M(x，y)|y，a0，2a2x2所以集合 M 表示以 O(0,0)为圆心，半径为 r1a 的上半圆.2同理，集合 N 表示以 O(1，)为圆心，半径为 r2a 的圆上的3点.这两个圆的半径随着 a 的变化而变化，但 OO2.如图所示，当两圆外切时，由aa2，得 a22；22当两圆内切时，由aa2，得 a22.22所以 a 的最大值为 22，最小值为 22.22答案 22 2222温馨提醒 本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对 MN的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如 AB，则 A或 A两种可能，应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来.二、圆与线性规划的交汇问题典例：(5 分)如果点 P 在平面区域Error!Error!上，点 Q 在曲线 x2(y2)21 上，那么 PQ 的最小值为_.思维启迪 求解本题应先画出点 P 所在的平面区域，再画出点 Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出 PQ 的最小值.解析 由点 P 在平面区域Error!Error!上，画出点 P 所在的平面区域.由点 Q 在圆 x2(y2)21 上，画出点 Q 所在的圆，如图所示.由题意，得 PQ 的最小值为圆心(0，2)到直线 x2y10 的距离减 去半径 1.又圆心(0，2)到直线 x2y10 的距离为，此时垂足(1,0)在|02 21|12225满足条件的平面区域内，故 PQ 的最小值为1.5答案 15温馨提醒 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.三、圆与不等式的交汇问题典例：(5 分)(2012天津改编)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20 与圆(x1)2(y1)21 相切，则 mn 的取值范围是_.思维启迪 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式.解析 圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20 的距离为1，|mn|m12n12所以 mn1mn (mn)2，14所以 mn22或 mn22.22答案 (，2222，)22温馨提醒 直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，从而求得 mn 的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要注意各知识应熟练掌握才能逐一化解.方法与技巧1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 ，由点斜式方程可求切线方1k程.若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 xx0.2.过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法当斜率存在时，设为 k，切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.(2)代数方法设切线方程为 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 0，求得 k，切线方程即可求出.3.两圆公共弦所在直线方程的求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去 x2和 y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.4.圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则2r2d2.(l2)(2)代数法：设直线与圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组Error!Error!消 y 后得关于 x的一元二次方程，从而求得 x1x2，x1x2，则弦长为AB(k 为直线斜率).1k2x1x224x1x2失误与防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1 列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、填空题1.圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2(y3)21 的内公切线有且仅有_条.答案 2解析 圆心距为 3，半径之和为 2，故两圆外离，内公切线条数为 2.2.(2012重庆改编)对任意的实数 k，直线 ykx1 与圆 x2y22 的位置关系一定是_.答案 相交解析 x2y22 的圆心(0,0)到直线 ykx1 的距离d1，|001|1k211k2又r，00)的公共弦长为 2，则 a_.3答案 1解析 方程 x2y22ay60 与 x2y24.相减得 2ay2，则 y .由已知条件 ，1a22 321a即 a1.二、解答题9.已知以点 C(t， )(tR，t0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中2tO 为原点.(1)求证：OAB 的面积为定值；(2)设直线 y2x4 与圆 C 交于点 M，N，若 OMON，求圆 C 的方程.(1)证明 圆 C 过原点 O，OC2t2 .4t2设圆 C 的方程是(xt)2(y )2t2 ，2t4t2令 x0，得 y10，y2 ；4t令 y0，得 x10，x22t，SOAB OAOB | |2t|4，12124t即OAB 的面积为定值.(2)解 OMON，CMCN，OC 垂直平分线段 MN.kMN2，kOC .12 t，解得 t2 或 t2.2t12当 t2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，OC，5此时 C 到直线 y2x4 的距离 d.955圆 C 与直线 y2x4 不相交，t2 不符合题意，舍去.圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.10.已知矩形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0)，边 AB 所在直线的方程为 x3y60，点(1,1)在边 AD 所在的直线上.(1)求矩形 ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线 l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线 l 的方程.解 (1)lAB：x3y60 且 ADAB，点(1,1)在边 AD 所在的直线上，AD 所在直线的方程是 y13(x1)，即 3xy20.由Error!Error!得 A(0，2).AP2，442矩形 ABCD 的外接圆的方程是(x2)2y28.(2)直线 l 的方程可化为k(2xy4)xy50，l 可看作是过直线2xy40 和 xy50 的交点(3,2)的直线系，即 l 恒过定点 Q(3,2)，由(32)22250，则(a,0)到直线 3x4y40 的距离为 2，即23a410a2 或 a(舍去)，|3 a4 04|3242143则圆 C 的方程为(x2)2(y0)222，即 x2y24x0.2.圆(x3)2(y3)29 上到直线 3x4y110 的距离等于 1 的点有_个.答案 3解析 因为圆心到直线的距离为2，|91211|5又因为圆的半径为 3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.3.(2013江西改编)过点(，0)引直线 l 与曲线 y相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，21x2当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于_.答案 33解析 SAOB OAOBsinAOB12 sinAOB .1212当AOB 时，2SAOB面积最大.此时 O 到 AB 的距离 d.22设 AB 方程为 yk(x)(k1，故 m.|00m|226.(2013江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y2x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上.(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使 MA2MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.解 (1)由题设，圆心 C 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3，由题意，1，解得 k0 或 ，|3k1|k2134故所求切线方程为 y3 或 3x