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2.52.5 等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和学习目标学习目标 :1掌握等比数列前n项和公式及其推导思路;2通过公式的推导和运用,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律;3会用等比数列前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题知识要点知识要点 :1. 在等比数列中,时, na1qnS;时, 。1qnS2. 在等比数列中,的简单性质:nanS(1)是的等比数列 。na1qnS(2)在等比数列中,不一定是等比数列nanSnnSS2,23nnSS3. 在数列中,与的关系:nananS(1) ;nS(2) 。na典型例题典型例题 :【例 1.】在等比数列中: (1),求 (2)na,81,41,218S,求0,2431,2791qaa8S(3)若,求公比. (4)若,求.233a29 3Sq105S2015S30S【例 2】商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年增加,从今%10年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?【例 3】为了估计函数在第一象限的图像与坐标轴围成的区域的面积,把29xyX轴上的区间分成等份,从各点分别作轴的平x 3 , 0ny行线与函数图像相交,再从各交点向左作轴的平行线,x构成个矩形,下面的程序可用来计算这个矩1n1n形的面积的和, (1)程序中的分别表示什SSUMAN,么?(2)计算时的。16,11, 6nS【例 4】 (1)数列na中12nnS ,求na。 (2)数列na中22nSnn,求na【例 5】设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,na nb111ab,3521ab。 (1)求,的通项公式; (2)求数列的前n项和5313abna nbnna bnS。当堂检测当堂检测 :1. 在等比数列中,则 。na11a644anS2在等比数列中,则= , 。na23 2a29 3S1aq3.数列的通项公式为,则它的前 5 项和等于 。 na42n na()nN4.设,则等于 。4710310( )22222()nf nnN( )f n5.已知为等比数列,则等于 na22a 516a 2222 123naaaa。6.等比数列的首项为 ,公比为,则数列的前项之和为 。 na1q1nan7 等比数列的前 4 项和为 1,前 8 项和为 17,则这个等比数列的公比为 。8.已知等比数列中,前项和,则等于 。 nan54nS 260nS3nS9.等比数列的前项和,则的值为 。n32nnkS k10.设等比数列的公比为,前项和为,若是等差数列,则等于 naqnnS nSq11. 求和)532()534()532(21nn12.设数列为,,求此数列前项的和。 na231,2 ,3,4xxx1nnx0xnnS知识要点 2.(2)当且为偶数时,不是等比数列。1q k232,kkkkkSSSSS当或为奇数时,成等比数列。1q k例 1评注:切记对和讨论用整体思想解决第(2)小题1q 1q (1)当时,为常数数列,;符合题意;1q na133 2aa31932Sa当时,求得综上,或1q 2 13 13 2 (1)9 12a qaq q1 2q 1q 1 2q (2)当时,为常数数列,与题意不合,所以,1q na20110120210Sa Sa1q 此时,两式相除,得, 10 120 1(1)511(1)1521aq qaq q2010115 15q q102q代入得,所以151a q 30 3011 30(1)(1)3511aqaSqqq例 4解:(1)设的公差为,的公比为,则依题意有且 nad nbq0q 4212211413dqdq ,解得,所以,2d 2q 1 (1)21nandn 112nn nbq(2)1 1211(21) ( )22nn n nannb , 122111111 3 ( )5 ( )(23) ( )(21) ( )2222nn nSnn ,1231111111( )3 ( )5 ( )(23) ( )(21) ( )222222nn nSnn 得,122111111112( )( )( )( )(21)( )222222nnn nSn 2211111211222222nnnn 11121211212nnn 所以12362nnnS例 5. (1)13,12,2nnnan;(2)1,1 23,2nnann,两段可合并,得23nan(*nN)练习答案1. 2.D115242(81)7n3.11222211134 1 ( )443 4343434343314nnnnnnnnnn 4. 5. 6.或 7. ) 14(31n 1nS q2226038.提示:xy222 223232()0nnnnnnnnnnxySSSSSSSSSS9. 10. 11. 12. 31q 2510213.解:因为an为等比数列,所以,即是方程121128nna aa a1,na a的两根,2661280xx可得,或12,64naa164,2naa若,则,解得,12,64naa132nq112 1 3212611nnaqqSqq2q 于是;6n 若,则,解得,164,2naa11 32nq1164 113212611nnqaqSqq1 2q 于是6n 14. 2311234n nSxxxnx 231231nn nxSxxxnxnx由得1nx S,211nnxxxnx 当时,1xnnnnxxxSx111xnxnxxnnn111 xnxxnnn1111 21111xnxxnSnnn当时,1x112342nnnSn 15.(1)由已知 172nnaS172nnaS-,得 nnnnnaSSaa7711(2)n ,又,nnaa81(2)n 21a217216aS218a a所以数列是一个以为首项,为公比的等比数列 na28 12 8nna(2)为等比数列,公比为,共项求和14732,na a aa3512q n1 14732(1 512 )2(5121)1 512511n n naaaaa16.,即,即2 1015aa51a 141aq,1 12(1) 1nnnaq qSaaa12111 n nTaaa1111(1)(1) 1(1)1nnnaqq q a qq q由得,得,则,nnST11(1)(1) 1(1)nnnaqq q qa qq2 1na qq2 1na qq9,9nqq n所以满足的最小正整数。nnST10n
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