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北京市西城区 2011 年高三二模试卷数学(理科) 2011.5一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 4040 分分. . 在每小题列出的四个选项中,选出在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项. .1 1.已知集合,且,则等于0,1A 1,0,3Ba ABa(A) (B) (C) (D)10232 2.已知 是虚数单位,则复数所对应的点落在i23zi+2i3i(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.3.在中, “”是“为钝角三角形”的ABC0AB BC ABC(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件4 4.已知六棱锥的底面是正六边形,PABCDEF平面.则下列结论不正确的是PA ABC(A)平面/CDPAF(B)平面DF PAF(C)平面/CFPAB(D)平面CFPAD5 5.双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线离心率为22221xy ab22(2)1xy(A) (B)(C) (D)23236 6.函数的部分图象如右图所示,设是sin() (0)yx P图象的最高点,是图象与轴的交点,则,A BxtanAPB(A) (B) (C) (D)1088 74 77 7已知数列的通项公式为,那么满足的整数na13nan119102kkkaaak(A)有 3 个 (B)有 2 个 (C)有 1 个 (D)不存在8 8设点,如果直线与线段有一个公共点,那么(1,0)A(2,1)B1axbyAB22ab(A)最小值为 (B)最小值为 (C)最大值为 (D)最大值为1 55 51 55 5x ABPyO二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 6 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 3030 分分. .9 9在ABC中,若,则_.2BA:1:3a b A 1010.在的展开式中,的系数是_.5 21()xx2x1111如图,是圆的直径,在的延长线上,ABOPABPD切圆于点.已知圆半径为,则OCO32OP _;的大小为_.PC ACD1212.在极坐标系中,点关于直线的对称点(2,)2A:cos1l的一个极坐标为_.1313定义某种运算,的运算原理如右图所示.ab设.( )(0)(2)f xx xx则_;(2)f在区间上的最小值为_.( )f x 2,21414.数列满足,其中,na11a 11nnnaanR12n ,当时,_;020a若存在正整数,当时总有,则的取值范围是_.mnm0na 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 6 小题,共小题,共 8080 分分. . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤. . 15.15.(本小题满分 13 分)已知函数.cos2( ) sin()4xf x x ()求函数的定义域; ()若,求的值 .( )f x4( )3f x sin2x16.16.(本小题满分 13 分)如图,已知菱形的边长为,,.将菱形沿ABCD660BADACBDOABCD对角线折起,使,得到三棱锥.AC3 2BD BACD()若点是棱的中点,求证 :平面;MBC/OMABD()求二面角的余弦值;ABDO()设点是线段上NBD一个动点,试确定点的位置,使得N,并证明4 2CN OABPDCMab开始输入, a b否结束SbSa输出S是你的结论.17.17.(本小题满分 13 分)甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手,乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓球选手,学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动.()求选出的 4 名选手均为男选手的概率.()记为选出的 4 名选手中女选手的人数,求的分布列和期望.XX 18.18.(本小题满分 14 分)已知函数,其中 为自然对数的底数.( )(1)e (0)xaf xxxe()当时,求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积;2a ( )yf x(1,(1)f()若函数存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为,( )f x5e求的值.a 19.19.(本小题满分 14 分)已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦2222:1xyMab(0)ab2 2 3点构成的三角形周长为246()求椭圆的方程;M()设直线 与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,lM,A BABC求面积的最大值ABC 20.20.(本小题满分 13 分)若为集合且的子集,且满足两个条件:mAAA,212(, 2 , 1nnA)n*N;12mAAAA对任意的,至少存在一个,使或.Ayx, 3 , 2 , 1mi,xyxAiy则称集合组具有性质.mAAA,21P如图,作行列数表,定义数表中的第行第 列nmkl的数为. )(0)(1ll klAkAka()当时,判断下列两个集合组是否具有性4n 质,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由;P集合组 1:;1231,3,2,3,4AAA集合组 2:.1232,3,4,2,3,1,4AAA()当时,若集合组具有性质,请先画出所对应的行 3 列的一个7n 123,A A AP7数表,再依此表格分别写出集合;123,A A A()当时,集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组,100n 12,tA AAP11a12ama121a22ama21na2nanma求 的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的个数)t12|tAAA|iAiA北京市西城区 2011 年高三二模试卷参考答案及评分标准 2011.5数学(理科)一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 4040 分分. . 题号12345678答案CCADCBBA二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 6 6 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 3030 分分. . 9. 10. 11. ;30517512.(或其它等价写法) 13.; 14.;.(2 2,)4261 20(21,2 ),kk k*N注:11、13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.15.(本小题满分 13 分)解:( )由题意, 2 分sin()04x所以, 3 分()4xkk Z所以, 4 分()4xkk Z函数的定义域为. 5 分( )f xx x ,4kkZ() 7 分cos2cos2( ) sin()sin coscos sin444xxf x xxx8 分2cos2 sincosx xx. . 10 分222(cossin)2(cossin )sincosxxxxxx因为,所以. 11 分4( )3f x 2 2cossin3xx所以, 12 分2sin21 (cossin )xxx . 13 分81199 16.16.(本小题满分 13 分)()证明:因为点是菱形的对角线的交点,OABCD所以是的中点.又点是棱的中点,OACMBC所以是的中位线,. 1 分OMABC/OMAB因为平面,平面,OM ABDAB ABD所以平面. 3 分/OMABD()解:由题意,3OBOD因为,3 2BD 所以,. 490BODOBOD分又因为菱形,所以,.ABCDOBACODAC建立空间直角坐标系,如图所示.Oxyz.(3 3,0,0),(0,3,0),AD(0,0,3)B所以 6 分( 3 3,0,3),( 3 3,3,0),ABAD 设平面的法向量为,ABDn ( , , )x y z则有即:0,0ABAD nn3 330,3 330xzxy令,则,所以. 7 分1x 3,3yzn (1, 3, 3)因为,所以平面. ,ACOB ACODAC BOD平面的法向量与平行,BODAC所以平面的法向量为. 8 分BOD0(1,0,0)n,0 0 017cos,717nnn nnn因为二面角是锐角,ABDO所以二面角的余弦值为. 9 分ABDO7 7ABCODxyzM()解:因为是线段上一个动点,设,NBD111( ,)N x y zBNBD 则,111( ,3)(0,3, 3)x y z所以, 10 分1110,3 ,33xyz则,(0,3 ,33 )N(3 3,3 ,33 )CN由得,即,11 分4 2CN 22279(33 )4 229920解得或, 12 分1 32 3所以点的坐标为或. 13 分N(0,2,1)(0,1,2)(也可以答是线段的三等分点,或)BD2BNND2BNND17.17.(本小题满分 13 分)解:解:()事件表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知A3 分2 3 22 54( )CP AC C. 5 分111 10220()的可能取值为. 6 分X0,1,2,3, 7 分2 3 22 5431(0)10 620CP XC C
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