高等数学,第九章：曲线积分与曲面积分,高等数学-曲线积分与曲面积分,1,一、问题的提出,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,高等数学-曲线积分与曲面积分,2,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,高等数学-曲线积分与曲面积分,3,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,高等数学-曲线积分与曲面积分,4,2.存在条件：,3.推广,高等数学-曲线积分与曲面积分,5,注意：,高等数学-曲线积分与曲面积分,6,4.性质,高等数学-曲线积分与曲面积分,7,三、对弧长曲线积分的计算,定理,高等数学-曲线积分与曲面积分,8,注意:,特殊情形,高等数学-曲线积分与曲面积分,9,推广:,高等数学-曲线积分与曲面积分,10,例1,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,11,例2,解,例3,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,12,例4,解,由对称性, 知,高等数学-曲线积分与曲面积分,13,四、几何与物理意义,高等数学-曲线积分与曲面积分,14,高等数学-曲线积分与曲面积分,15,五、小结,1、对弧长曲线积分的概念,2、对弧长曲线积分的计算,3、对弧长曲线积分的应用,高等数学-曲线积分与曲面积分,16,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,高等数学-曲线积分与曲面积分,17,思考题解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,高等数学-曲线积分与曲面积分,18,练习题,高等数学-曲线积分与曲面积分,19,高等数学-曲线积分与曲面积分,20,练习题答案,高等数学-曲线积分与曲面积分,21,一、问题的提出,实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,高等数学-曲线积分与曲面积分,22,求和,取极限,近似值,精确值,高等数学-曲线积分与曲面积分,23,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,高等数学-曲线积分与曲面积分,24,类似地定义,高等数学-曲线积分与曲面积分,25,2.存在条件：,3.组合形式,高等数学-曲线积分与曲面积分,26,4.推广,高等数学-曲线积分与曲面积分,27,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,高等数学-曲线积分与曲面积分,28,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,高等数学-曲线积分与曲面积分,29,特殊情形,高等数学-曲线积分与曲面积分,30,高等数学-曲线积分与曲面积分,31,(4) 两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,高等数学-曲线积分与曲面积分,32,可用向量表示,有向曲线元；,高等数学-曲线积分与曲面积分,33,例1,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,34,高等数学-曲线积分与曲面积分,35,例2,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,36,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,高等数学-曲线积分与曲面积分,37,例3,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,38,高等数学-曲线积分与曲面积分,39,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,高等数学-曲线积分与曲面积分,40,四、小结,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,高等数学-曲线积分与曲面积分,41,思考题,高等数学-曲线积分与曲面积分,42,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,高等数学-曲线积分与曲面积分,43,练 习 题,高等数学-曲线积分与曲面积分,44,高等数学-曲线积分与曲面积分,45,高等数学-曲线积分与曲面积分,46,练习题答案,高等数学-曲线积分与曲面积分,47,高等数学-曲线积分与曲面积分,48,一、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,高等数学-曲线积分与曲面积分,49,设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通 二维单连通,一维单连通 二维不连通,一维不连通 二维单连通,高等数学-曲线积分与曲面积分,50,二、格林公式,定理1,高等数学-曲线积分与曲面积分,51,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,高等数学-曲线积分与曲面积分,52,证明(1),高等数学-曲线积分与曲面积分,53,同理可证,高等数学-曲线积分与曲面积分,54,证明(2),两式相加得,高等数学-曲线积分与曲面积分,55,高等数学-曲线积分与曲面积分,56,G,F,证明(3),由(2)知,高等数学-曲线积分与曲面积分,57,高等数学-曲线积分与曲面积分,58,L,1. 简化曲线积分,三、简单应用,高等数学-曲线积分与曲面积分,59,高等数学-曲线积分与曲面积分,60,2. 简化二重积分,高等数学-曲线积分与曲面积分,61,高等数学-曲线积分与曲面积分,62,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,63,高等数学-曲线积分与曲面积分,64,(注意格林公式的条件),高等数学-曲线积分与曲面积分,65,3. 计算平面面积,高等数学-曲线积分与曲面积分,66,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,67,高等数学-曲线积分与曲面积分,68,四、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3. 格林公式的应用.,格林公式;,高等数学-曲线积分与曲面积分,69,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,高等数学-曲线积分与曲面积分,70,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,高等数学-曲线积分与曲面积分,71,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,高等数学-曲线积分与曲面积分,72,二、曲线积分与路径无关的条件,定理2,高等数学-曲线积分与曲面积分,73,两条件缺一不可,有关定理的说明：,高等数学-曲线积分与曲面积分,74,三、二元函数的全微分求积,定理3,高等数学-曲线积分与曲面积分,75,高等数学-曲线积分与曲面积分,76,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,77,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,78,高等数学-曲线积分与曲面积分,79,四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,高等数学-曲线积分与曲面积分,80,练 习 题,高等数学-曲线积分与曲面积分,81,高等数学-曲线积分与曲面积分,82,高等数学-曲线积分与曲面积分,83,高等数学-曲线积分与曲面积分,84,练习题答案,高等数学-曲线积分与曲面积分,85,高等数学-曲线积分与曲面积分,86,一、概念的引入,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,高等数学-曲线积分与曲面积分,87,二、对面积的曲面积分的定义,1.定义,高等数学-曲线积分与曲面积分,88,2.对面积的曲面积分的性质,高等数学-曲线积分与曲面积分,89,三、计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,高等数学-曲线积分与曲面积分,90,则,则,高等数学-曲线积分与曲面积分,91,例1,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,92,高等数学-曲线积分与曲面积分,93,解,依对称性知：,高等数学-曲线积分与曲面积分,94,高等数学-曲线积分与曲面积分,95,高等数学-曲线积分与曲面积分,96,例3,高等数学-曲线积分与曲面积分,97,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,98,（左右两片投影相同）,高等数学-曲线积分与曲面积分,99,高等数学-曲线积分与曲面积分,100,例4,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,101,高等数学-曲线积分与曲面积分,102,四、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,1、 对面积的曲面积分的概念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,高等数学-曲线积分与曲面积分,103,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.,高等数学-曲线积分与曲面积分,104,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,高等数学-曲线积分与曲面积分,105,练 习 题,高等数学-曲线积分与曲面积分,106,高等数学-曲线积分与曲面积分,107,练习题答案,高等数学-曲线积分与曲面积分,108,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,高等数学-曲线积分与曲面积分,109,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,高等数学-曲线积分与曲面积分,110,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,高等数学-曲线积分与曲面积分,111,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,高等数学-曲线积分与曲面积分,112,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,高等数学-曲线积分与曲面积分,113,高等数学-曲线积分与曲面积分,114,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,高等数学-曲线积分与曲面积分,115,2. 求和,高等数学-曲线积分与曲面积分,116,3.取极限,高等数学-曲线积分与曲面积分,117,三、概念及性质,高等数学-曲线积分与曲面积分,118,被积函数,积分曲面,类似可定义,高等数学-曲线积分与曲面积分,119,存在条件:,组合形式:,物理意义:,高等数学-曲线积分与曲面积分,120,性质:,高等数学-曲线积分与曲面积分,121,四、计算法,高等数学-曲线积分与曲面积分,122,高等数学-曲线积分与曲面积分,123,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,高等数学-曲线积分与曲面积分,124,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,125,高等数学-曲线积分与曲面积分,126,五、两类曲面积分之间的联系,高等数学-曲线积分与曲面积分,127,高等数学-曲线积分与曲面积分,128,两类曲面积分之间的联系,高等数学-曲线积分与曲面积分,129,向量形式,高等数学-曲线积分与曲面积分,130,解,高等数学-曲线积分与曲面积分,131,高等数学-曲线积分与曲面积分,132,六、小结,1、物理意义,2、计算时应注意以下两点,高等数学-曲线积分与曲面积分,133,思考题,高等数学-曲线积分与曲面积分,134,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,高等数学-曲线积分与曲面积分,135,练 习 题,高等数学-曲线积分与曲面积分,136,高等数学-曲线积分与曲面积分,137,练习题答案,高等数学-曲线积分与曲面积分,138,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,高等数学-曲线积分与曲面积分,139,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,140,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,141,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,142,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,143,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,144,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,145,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,146,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,147,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,148,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,高等数学-曲线积分与曲面积分,