1,第四章 傅里叶变换,本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和卷积定理 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 相关、能量谱和功率谱,2,4.1 引言,一、傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄利克雷第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析理论”中,3,二、傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点 三、变换域分析 频域分析傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析Z 变换，自变量为,4,4.2周期信号的频谱分析,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： 三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t, sinn1t 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t ,5,一、三角函数的傅里叶级数,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,6,直流系数,余弦分量 系数,正弦分量 系数,7,狄利克雷条件：,.在一个周期内只有有限个间断点； .在一个周期内有有限个极值点； .在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,8,三角函数是正交函数,9,周期信号的另一种 三角函数正交集表示,10,比较几种系数的关系,11,周期函数的频谱：,an,bn,cn和n都是 n1的函数。把cn（各频率分量的相对大小）对n1的关系绘成线图，此图为信号的幅度频谱（幅度谱），图中每条线代表某一频率分量的幅度，称为谱线。n对n1的关系线图为信号的相位谱。因为cn和n只在n1 （各频率点且n=0）取值，所以周期信号的幅度谱与相位谱均为单边离散谱。周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的相移。Cn,12,二、周期函数的复指数级数,引入了 负频率,13,两种傅氏级数的系数间的关系,14,15,频谱图,同样可以画出复指数形式表示的信号频谱，因 F(n1)一般是复函数，称为复数频谱。|F(n1)| 为复数幅度谱， n 为相位谱。同样因为|F(n1)|和n只在n1 取值，而n的取值可从-到+ ，因此指数形式表示的信号频谱为离散的双边谱。 注：应把指数形式表示的信号频谱的正、负频率上对应的两条谱线矢量相加才代表一个频率分量的幅度。负频率的出现完全是数学运算的结果，无物理意义。如图3-2。,16,周期复指数信号的频谱图,17,例 将全波整流信号f(t)=|sin t|展开成指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。,18,19,一次谐波分量由n=+1,n=-1两条谱线决定，二次谐波分量由 n=+2,n=-2两条谱线决定,2,4,6,-2,-4,-6,2,4,6,-2,-4,-6,F(n1),|F(n1)|,2,4,6,-2,-4,-6,n,幅度谱,相位谱,20,三、谱系数F(n)的性质,1.奇偶虚实性,21,若f(t)为偶函数，那么F(n1)为实函数（an0，bn=0），f(t)的傅里叶级数只含有余弦项，相位为 ；f(t)为奇函数，那么F(n1)为虚函数（ an=0，bn0），f(t)的傅里叶级数只含有正弦项，相位 ；f(t)为非奇非偶，那么F(n1)为复函数（an0，bn0），f(t)的傅里叶级数既含有余弦项，又含有正弦项。,22,奇谐函数，即波形沿时间轴平 移半周期并相对于时间轴上下反转。如图3-5，直流分量a0=c0=F0=0；对于偶次谐波分量，其系数为0；而奇次谐波分量系数不为0，故奇谐函数只含有基波和奇次谐波分量。,T1/2,-T1/2,0,t,23,3.时移特性,24,4.微分特性,25,例删除直流分量偏移以显现隐藏的对称性删除直流分量a0=0.5后，信号为奇对称。故an=0，其付里叶级数只有正弦分量。,1,2,1,26,可利用微分特性求谱系数 例周期信号f(t)如下图，试求其谱系数。取一个周期的f (t) f (2)(t),E,27,应补出直流分量,例半波整流信号f(t)，周期为T，试求其谱系数。,28,29,1,21,41,-41,-21,-1,1,21,41,-21,-1,-41,|F(n1)|,(n),30,四、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理,31,功率谱：|F(n1)|2n1,32,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n= ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则,33,误差函数和均方误差,误差函数均方误差,34,例如对称方波：偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,35,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1N=2N=3,36,有限项的N越大，误差越小例如: N=11,37,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉布斯现象发生,