第四节 数列求和,总纲目录,教材研读,1.求数列的前n项和的方法,考点突破,2.常见的裂项公式,考点二 并项法求和,考点一 分组转化法求和,考点三 裂项相消法求和,教材研读,1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法 (i)等差数列的前n项和公式 Sn= = na1+ . (ii)等比数列的前n项和公式 当q=1时,Sn= na1 ; 当q1时,Sn= = .,把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列 之和,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式 的推导过程的推广. (5)错位相减法 适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错 位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.,(2)分组转化法,(6)并项求和法 求一个数列的前n项和时,可将数列的项合并求解,这种方法称为并项求 和法.形如an=(-1)nf(n)的类型,可采用两项合并求和.例如:Sn=1002-992+982 -972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5 050.,2.常见的裂项公式 (1) = - ; (2) = ; (3) = - .,1.数列an的通项公式是an= ,前n项和为9,则n等于 ( ) A.9 B.99 C.10 D.100,B,答案 B an= = - ,Sn=a1+a2+an=( - )+ ( - )+( - )+( - )= -1,令 -1=9,得n=99,故选B.,2.数列an的前n项和为Sn,若an= ,则S5等于 ( ) A.1 B. C. D.,B,答案 B an= = - ,S5=a1+a2+a5=1- + - + - =.,3.设数列an是首项为1的等比数列,若 是等差数列,则+ + 的值等于 ( ) A.2 012 B.2 013 C.3 018 D.3 019,C,答案 C 设数列an的公比为q,由等差数列的定义可得 += ,则 + = ,解得q=1,则an=1,从而 += ,故 + + =2 012 =3 018.,4.数列an的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17= 9 .,答案 9,解析 S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+(-14 +15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.,5.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn= 2n+1-2+n2 .,答案 2n+1-2+n2,解析 Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+ +(2n-1)= + =2n+1-2+n2.,考点一 分组转化法求和,考点突破,典例1 (2016北京,15,13分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2= 3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.,解析 (1)等比数列bn的公比q= = =3, 所以b1= =1,b4=b3q=27. 设等差数列an的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(nN*). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列cn的前n项和,Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1 = +,=n2+,规律总结 分组转化求和的常见类型 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an 的前n项和. (2)若an= 且数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分 组求和法求和.,1-1 设an是一个公比为q(q0,且q1)的等比数列,4a1,3a2,2a3成等差 数列,且它的前4项和S4=15. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=an+2n(n=1,2,3,),求数列bn的前n项和.,解析 (1)因为an是一个公比为q(q0,q1)的等比数列, 所以an=a1qn-1. 因为4a1,3a2,2a3成等差数列,所以6a2=4a1+2a3,即q2-3q+2=0, 解得q=2或q=1(舍). 又由an的前4项和S4=15,得 =15(q0,q1), 解得a1=1,所以an=2n-1. (2)因为bn=an+2n(n=1,2,3,), 所以 bi= ai+ 2i=2n+n(n+1)-1.,典例2 已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3), 则S15+S22-S31的值是 ( ) A.13 B.-76 C.46 D.76,考点二 并项法求和,B,答案 B,解析 S15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,S22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76. 故选B.,规律总结 并项求和的解题思路 并项求和常见的有首末并项、隔项并项、分段并项、类周期并项,求解 时要注意观察通项的结构特点,根据特点采用相应方法求解.,2-1 若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10= ( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15,答案 A 记bn=3n-2,则数列bn是以1为首项,3为公差的等差数列,所 以a1+a2+a9+a10=(-b1)+b2+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+(b10-b9)=53= 15.故选A.,A,典例3 已知函数f(x)= ,数列an满足:a1=2,an+1=f (nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设数列an的前n项和为Sn,求数列 的前n项和Tn.,考点三 裂项相消法求和,解析 (1)f(x)= =2+ , an+1=f =2+an. an+1-an=2, 数列an是首项为2,公差为2的等差数列, an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)数列an是等差数列, Sn= = =n(n+1), = = - , Tn= + + +,= + + + =1- = .,易错警示 利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前 面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.,3-1 已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,其前n项和为Sn. (1)求an的通项公式及Sn; (2)令bn= (nN*),求数列bn的前8项和.,解析 (1)设等差数列an的公差为d, 由a5+a7=26,得a6=13, 又a6-a3=3d=6,故d=2. 所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1. 所以Sn= n= n=n2+2n. (2)由bn= ,得bn= = = - . 设bn的前n项和为Tn, 则T8= + + + =1- = ,即数列bn的前8项和 为 .,典例4 设数列an的前n项和为Sn,且a1=4,an+1=Sn,nN*. (1)写出a2,a3,a4的值; (2)求数列an的通项公式; (3)已知等差数列bn中,有b2=a2,b3=a3,求数列anbn的前n项和Tn.,考点四 错位相减法求和,解析 (1)a1=4,an+1=Sn, a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4=8, a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16. an+1=Sn, an=Sn-1(n2), an+1-an=Sn-Sn-1, an+1=2an(n2), 又a2=4,an=2n(n2), 又当n=1时,a1=4,不满足上式, an=,(3)设等差数列bn的公差为d, 依题意得,b2=a2=4,b3=a3=8, 则由 得b1=0,d=4,则bn=4(n-1). 所以anbn= 因为当n=1时,(n-1)2n+2=0, 所以anbn=(n-1)2n+2(nN*). 所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn=0+124+225+326+(n-2) 2n+1+(n-1)2n+2, 2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3,-得-Tn=124+25+26+2n+2-(n-1)2n+3=24(2n-1-1)-(n-1)2n+3=(2-n)2n+3 -16,Tn=(n-2)2n+3+16.,方法技巧 (1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前 n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的 公比,然后作差求解; (2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”, 以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.,4-1 已知an0,且apaq=2p+q(p,qN*)成立. (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=nan(nN*),求数列bn的前n项和Sn.,解析 (1)对于任意正整数p,q都有apaq=2p+q成立,令p=q=n,可得anan=22n, 因为an0,所以an=2n. (2)bn=nan=n2n, Sn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n, 2Sn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1, -,得-Sn=21+22+23+2n-n2n+1,即-Sn= -n2n+1,整理可得Sn=(n-1) 2n+1+2.,