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1第第 1 1 讲讲 等差数列与等比数列等差数列与等比数列1(2015课标全国)已知an是公差为 1 的等差数列,Sn为an的前n项和,若S84S4,则a10等于( )A. B. C10 D1217 219 22(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列,a1a49,a2a38,则数列an的前n项和等于_3(2014广东)若等比数列an的各项均为正数,且a10a11a9a122e5,则 ln a1ln a2ln a20_.4(2013江西)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数n(nN N*)等于_1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点,考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一 等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列:ana1(n1)d;等比数列:ana1qn1.2(2)求和公式等差数列:Snna1d;na1an 2nn1 2等比数列:Sn(q1)a11qn 1qa1anq 1q(3)性质若mnpq,在等差数列中amanapaq;在等比数列中amanapaq.例 1 (1)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n_.(2)已知等比数列an公比为q,其前n项和为Sn,若S3,S9,S6成等差数列,则q3等于( )A B11 2C 或 1 D1 或1 21 2思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量跟踪演练 1 (1)(2015浙江)已知an是等差数列,公差d不为零若a2,a3,a7成等比数列,且 2a1a21,则a1_,d_.(2)已知数列an是各项均为正数的等比数列,a1a21,a3a42,则 log2_.a2 011a2 012a2 013a2 014 3热点二 等差数列、等比数列的判定与证明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法:利用定义,证明an1an(nN N*)为一常数;利用中项性质,即证明 2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法:利用定义,证明(nN N*)为一常数;an1 an利用等比中项,即证明aan1an1(n2)2n例 2 (2014大纲全国)数列an满足a11,a22,an22an1an2.(1)设bnan1an,证明:bn是等差数列;3(2)求an的通项公式思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法(2)q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件,判断时还an1 an2n要看各项是否为零跟踪演练 2 (1)(2015大庆铁人中学月考)已知数列an的首项a11,且满足an1,则an 4an1an_.(2)已知数列an中,a11,an12an3,则an_.热点三 等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解例 3 已知等差数列an的公差为1,且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn;(2)将数列an的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前 3 项,记bn的前n项和为Tn,若存在mN N*,使对任意nN N*,总有Sn0,a3a100,a6a70 的最大自然数n的值为( )A6 B7C12 D132已知各项不为 0 的等差数列an满足a42a3a80,数列bn是等比数列,且2 7b7a7,则b2b12等于( )A1 B2C4 D83已知各项都为正数的等比数列an满足a7a62a5,存在两项am,an使得 4a1,则 的最小值为( )aman1 m4 mA. B.3 25 3C. D.25 64 34已知等比数列an中,a4a610,则a1a72a3a7a3a9_.提醒:完成作业 专题四 第 1 讲6二轮专题强化练二轮专题强化练专题四专题四第第1 1讲讲 等等差差数数列列与与等等比比数数列列A A 组组 专题通关专题通关1已知等差数列an中,a510,则a2a4a5a9的值等于( )A52 B40C26 D202已知等差数列an中,a7a916,S11,则a12的值是( )99 2A15 B30C31 D643(2015浙江)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )Aa1d0,dS40 Ba1d0,dS40Ca1d0,dS40 Da1d0,dS404设Sn为等差数列an的前n项和,(n1)Sn6.即实数的取值范围为(6,)跟踪演练 3 解 (1)设等比数列an的公比为q,因为S3a3,S5a5,S4a4成等差数列,所以S5a5S3a3S4a4S5a5,即 4a5a3,于是q2 .a5 a31 4又an不是递减数列且a1 ,3 2所以q .1 2故等比数列an的通项公式为an n1(1)n1.3 2(1 2)3 2n(2)由(1)得Sn1nError!(1 2)当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以 1SnS2 .1 Sn1 S23 44 37 12综上,对于nN N*,总有Sn .7 121 Sn5 6所以数列Tn最大项的值为 ,最小项的值为.5 67 12高考押题精练1C a10,a6a70,a70,a1a132a70,S130 的最大自然数n的值为 12.132C 设等差数列an的公差为d,因为a42a3a80,所以a73d2a3(a7d)2 72 70,即a2a7,解得a70(舍去)或a72,所以b7a72.因为数列bn是等比数列,所2 7以b2b12b4.2 73A 由a7a62a5,得a1q6a1q52a1q4,整理有q2q20,解得q2 或q1(与条件中等比数列的各项都为正数矛盾,舍去),又由4a1,得amanaman16a,即a2mn216a,即有mn24,亦即mn6,那么 (mn)2 12 12 11 m4 n1 6( )1 m4 n ( 5) (25) ,1 64m nn m1 64m nnm3 2当且仅当 ,mn6,4m nn m即n2m4 时取得最小值 .3 24100解析 因为a1a7a,a3a9a,a3a7a4a6,2 42 6所以a1a72a3a7a3a9(a4a6)2102100.14二轮专题强化练答案精析二轮专题强化练答案精析专题四 数列、推理与证明第第 1 1 讲讲 等差数列与等比数列等差数列与等比数列1B 因为a2a42a3,a5a92a7,所以a2a4a5a92(a3a7)4a5,而a510,所以a2a4a5a941040.故选 B.2A 因为a8是a7,a9的等差中项,所以 2a8a7a916a88,再由等差数列前n项和的计算公式可得S1111a6,又因为S11,所以a6 ,则11a1a11 2112a6 299 29 2d ,a8a6 27 4所以a12a84d15,故选 A.3B a3,a4,a8成等比数列,(a13d)2(a12d)(a17d),整理得a1d,5 3a1dd20,又S44a1d,5 34 3 22d 3dS40,故选 B.2d2 34D 由(n1)Sn0,a70,上式不成立;当n为奇数时,(2)n2n2 012,即 2n2 012,得n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n2k1,kN N,k5
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