教教 案案 设设 计计 课课 题题：映 射 教教 材：材：北师大版全日制普通高中数学 必修一 授课教师：授课教师：丰城二中 魏智琴 教学目标教学目标 1 1知识与技能：知识与技能： （1）了解映射的概念及表示方法； （2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念； (3)了解像、原像的概念； （4）使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射、函数的关 系。 2 2过程与方法过程与方法 （1）复习回顾初中学过的一些对应的例子（投影） ； （2）创设情境，引入课题； （3）举例巩固映射的概念，原像与像的求法和映射与函数的关 系。 3 3情态与价值情态与价值 映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类 映射的基础。 教学重点：教学重点：映射的概念； 像和原像的求法 教学难点：教学难点：映射的概念 学法与教学用具学法与教学用具 1 1学法：学法： 通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的 教学目标； 2 2教学用具：教学用具：计算机、投影仪 教学过程：教学过程： 一、创设情境，导入新课一、创设情境，导入新课 （一）复习初中学过的二个典型的对应（一）复习初中学过的二个典型的对应 1对于任何一个实数 ，数轴上都有唯一的点和它对应；ap 2对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的一个有序实 数对（） 和它对应；, x y （二）利用生肖图引入生活中的几个对应（二）利用生肖图引入生活中的几个对应 （设计意图设计意图：从学生感兴趣的生肖出发，充分发挥学生在学习 中的主体地位，引导学生积极参与、观察、探究，激发课堂气氛。 ） 二、讲解新课二、讲解新课 （一）（一） 映射的定义映射的定义 1 1、教师提出问题、教师提出问题 一对多一对多 多对一多对一 一对一一对一 牛牛 虎虎 兔兔 f: f:人对应的生肖人对应的生肖 A AB B 小杨小杨 小李小李 小王小王 小熊小熊 f: f:年份对应的生肖年份对应的生肖 A AB B 9797年年 9898年年 9999年年 牛牛 虎虎 兔兔 f: f:生肖对应的人生肖对应的人 B B 牛牛 虎虎 兔兔 小杨小杨 小李小李 小王小王 小熊小熊 （1）观察三个对应关系，它们具有什么共同特征？ （2）对应关系和对应关系有什么更进一步的特征？ 2 2、师生一起概括出、师生一起概括出映射映射的定义的定义 两个非空集合与间存在着对应关系，而且对于中的每一 个元素 x，中总有唯一的一个元素 y 与它对应，就称这种对应为 从到的，记作“：AB” 。f 中的元素 x 称为原像，中的对应元素 y 称为 x 的像， 记作 f: xy。 （设计意图设计意图：从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观 察、归纳、概括能力。 ） 3、强调定义的条件、强调定义的条件 (1)映射的三要素：非空集合 A，B，对应关系 f; (2)映射是特殊的对应：可以是一对一，多对一，但不能一对多。 即每一对唯一; (3)映射有方向性：f:AB 与 f:BA 一般是不同的映射; (4)对 A 中的每一个元素，在 B 中都有唯一的像；但 B 中的元素 可以没有原像。即：设像集是 C，则 C B （设计意图设计意图：让学生进一步理解映射的定义） （二）应用举例，巩固新知（二）应用举例，巩固新知 例 1 下图表示集合下图表示集合下图表示集合下图表示集合 A A A 到集合到集合到集合到集合 B B B 的映射的是的映射的是的映射的是的映射的是 A f 求开方求开方 BA f 乘以乘以 2 BA f 求平方求平方 B 9 9 4 4 1 1 3 -3 2 -2 1 -1 2 2 -2-2 3 3 -3-3 4 4 9 9 A A B B C C D D a a b b c c a a b b c c d d 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 A f B A f BA f B （设计意图设计意图：让学生加深对映射定义中的关键词汇的理解，进一步 强化映射定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。并由对应引 出一一映射的概念） ( (三三) )一一映射定义一一映射定义: : 在映射在映射 f:AB 中，若对于集合中，若对于集合 A A 中的不同元素，在集合中的不同元素，在集合 B B 中都中都 有不同的象且有不同的象且 B B 中每一个元素都有原象，则这个映射叫做中每一个元素都有原象，则这个映射叫做 A A 到到 B B 上上 的一一映射。的一一映射。 （设计意图设计意图：让学生明白一一映射是映射的特殊） A=NA=N ，B=NB=N，f f：xy=|x-1|xy=|x-1| 分析分析：任意任意xA,xA,依法则依法则f f：xy=|x-1|xy=|x-1| BB 是是 练习练习1 1 判断下列对应是否是从集合判断下列对应是否是从集合A A到集合到集合B B的映射的映射 A=0,1,2,A=0,1,2, B=0,1,B=0,1, f f： xy=xy= 1 2 1 1 x x 分析：分析：0A0A，在对应法则下，在对应法则下 无意义无意义 不是不是 2 2 4 4 6 6 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 0 0 A=NA=N，B=NB=N ， ，f f：xy=|x-1|xy=|x-1| 分析：分析：1A1A，在对应法则下，在对应法则下1010 B B 不是不是 （设计意图设计意图：让学生体会学以致用。是中集合A与B的调 换变形而得到，让学生体会映射方向性的重要性。 ） （四）像与原像的关系（四）像与原像的关系 例例 2 2 已知映射已知映射 f f：A AB B(x(x，y)|xRy)|xR，yRyR， f f：A A 中元素中元素(x(x，y)y)对应对应 B B 中元素中元素(x+y,x-y)(x+y,x-y)。 (1)(1)求求 A A 中中(3,2)(3,2)的像；的像； (2)(2)求求 B B 中中(1,3)(1,3)的原像；的原像； (3)(3)是否存在这样的元素是否存在这样的元素(a(a，b)b)，使它的像仍是自己？，使它的像仍是自己？ （设计意图设计意图：通过简单的例子让学生明白像与原像的求法。 ） （五）思考交流：映射与函数有怎样的关系？（五）思考交流：映射与函数有怎样的关系？ 映射是二个非空集合间的一种特殊对应。映射是二个非空集合间的一种特殊对应。 函数是二个非空数集间的一种特殊对应。函数是二个非空数集间的一种特殊对应。 函数是一种特殊的映射，映射是函数的推广。函数是一种特殊的映射，映射是函数的推广。 对应对应 映射映射 函数函数 （设计意图设计意图：新学的映射与以前学过的函数进行比较，从而更 好的理解映射与函数的概念。培养学生的观察、对比、概括能力。 ） （六）我们生活和学习中的映射（详见视频）（六）我们生活和学习中的映射（详见视频） （设计意图设计意图：通过学生每天都要经历的生活与学习的动画演示，让 学生体会生活中映射的存在。比如扣扣子时纽扣与纽洞之间的对应； 涮牙时从卫生角度出发，牙刷与人的对应等等） 三三 、课堂小结：、课堂小结： 1 1、映射的概念、映射的概念 映射由三部分组成：非空集合映射由三部分组成：非空集合 A A，B B，对应关系，对应关系 f f 映射是特殊的对应：可以是一对一，多对一，但不能一对多。映射是特殊的对应：可以是一对一，多对一，但不能一对多。 即每一对唯一。即每一对唯一。 映射具有方向性：映射具有方向性：f:ABf:AB 与与 f:BAf:BA 一般是不同。一般是不同。 2 2、求像与原像问题、求像与原像问题 由原像求像，直接代入关系式即可。由原像求像，直接代入关系式即可。 由像求原像，一般先设出原像，通过对应关系，列出方程由像求原像，一般先设出原像，通过对应关系，列出方程( (方方 程组程组) )，通过方程（方程组）得到原像。，通过方程（方程组）得到原像。 3 3、函数与映射的关系、函数与映射的关系 函数是映射的特殊，映射是函数的推广。函数是映射的特殊，映射是函数的推广。 四、布置作业四、布置作业 ( (一一) )必做题必做题 课本课本 3333 页练习题：页练习题：1 1、2 2 ( (二二) )选做题选做题 设设 A=A=a a、b b,B=,B=1 1、2 2 (1)(1)用图示法表示集合用图示法表示集合 A A 到集合到集合 B B 的所有不同映射的所有不同映射? ? (2)(2)若若 A=A=a a、b b、c c则则 A A 到到 B B 可建立多少个不同映射可建立多少个不同映射? ? (3)(3)若若 A A 中有中有 m m 个元素，个元素，B B 中有中有 n n 个元素，则个元素，则 A A 到到 B B 可建立多少可建立多少 个不同映射个不同映射? ? （设计意图设计意图：分层次布置作业,帮助学生巩固所学知识;为学有余力 的学生留有进一步探索、发展的空间，同时与引题相呼应。 ） 教案说明教案说明 1 1、 对教材地位与作用的认识对教材地位与作用的认识 函数是中学数学中最重要的基本概念之一。初中课本已初步讨函数是中学数学中最重要的基本概念之一。初中课本已初步讨 论了函数的概念论了函数的概念 ，学生在头脑中已具备函数定义的雏形，知道函数，学生在头脑中已具备函数定义的雏形，知道函数 是变量之间的一种对应关系，为了深入理解函数概念，高中数学将是变量之间的一种对应关系，为了深入理解函数概念，高中数学将 从集合元素间的对应关系来解释函数。所以映射概念是函数概念的从集合元素间的对应关系来解释函数。所以映射概念是函数概念的 推广。相反理解了映射的结构，可帮助学生顺利掌握函数的三要素。推广。相反理解了映射的结构，可帮助学生顺利掌握函数的三要素。 学生若透彻理解了映射的意义，也就寻得了函数学习的入门之径，学生若透彻理解了映射的意义，也就寻得了函数学习的入门之径， 从而让学生很自然的做好初高中数学知识学习上的衔接，顺利的为从而让学生很自然的做好初高中数学知识学习上的衔接，顺利的为 进一步挖掘函数的性质铺好道路。进一步挖掘函数的性质铺好道路。 2 2、对学习目标的确定、对学习目标的确定 映射概念是一个比较抽象的概念，特别是用抽象的符号表示，映射概念是一个比较抽象的概念，特别是用抽象的符号表示， 使得学生在理解和认识上都有一定的困难，本节课的教学目标要求使得学生在理解和认识上都有一定的困难，本节课的教学目标要求 学生知道：一是映射概念；二是一一映射概念；三是映射中的像与学生知道：一是映射概念；二是一一映射概念；三是映射中的像与 原像的求法；四是映射与函数的关系。原像的求法；四是映射与函数的关系。 3 3、如何突破难点、如何突破难点 映射是比较抽象的概念，需要用抽象的符号表示，这在学习中映射是比较抽象的概念，需要用抽象的符号表示，这在学习中 是比较困难的，因此在教学中一定要遵循学生的认知特点，利用他是比较困难的，因此在教学中一定要遵循学生的认知特点，利用他 们已具备的知识结构，循序渐进，有条理的逐步加深。映射是在初们已具备的知识结构，循序渐进，有条理的逐步加深。映射是在初 中所学对应的基础上研究两个集合间元素的对应关系，集合的相关中所学对应的基础上研究两个集合间元素的对应关系，集合的相关 知识在前一章里已学习过，对集合的表示方式学生已具备感性认识知识在前一章里已学习过，对集合的表示方式学生已具备感性认识 的基础，据此决定用图形表示映射，在集合的选择上选择能用列举的基础，据此决定用图形表示映射，在集合的选择上选择能用列举 法表示的有