江苏省扬州中学高三下开学考试 1、填空题：1、设集合，则 13A ，25Ba，3AB AB 2、设复数满足，其中 为虚数单位，则的虚部为 .(1i)2ziz3、设向量，若，则实数 (2, 6)a ( 1,)bm /abm 4、已知样本数据的方差，则样本数据的方差为 .12345,x xx xx23s 123452 ,2,2,2,2xxxxx5、已知函数是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当时，则 ( )f x01x( )8xf x 19()3f 6、若圆锥底面半径为，高为，则其侧面积为 257、数列为等比数列，且成等差数列，则公差 na741531aaa,d8、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD m.9、如图，在平面直角坐标系中，已知，分别为椭圆的右、下、xOyA1B2B2222:1(0)xyCabab上顶点，是椭圆的右焦点若，则椭圆的离心率是 FC21B FABC10、已知函数 f(x)sin2sin x (0，xR).若 f(x)在区间(，2)内没有零点，则 的取值范围是 11、若实数 x，y 满足 2x2xyy21，则的最大值为 12、已知向量 a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量 e，均有|ae|be|，则 ab 的最大值是 13、已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，05042xexxxfx,)( x05 axxf)(则满足条件的所有实数的取值集合为 a14、已知函数与函数的图象共有（）个公共点：，13 31xxy 31 2xyxkNk),(111yxA， ，则 ),(222yxA),(kkkyxA kiiiyx1)(2、解答题：15、在中，,分别为内角,的对边，且ABCabcA BCsin2sinbCcB（1）求角；C（2）若，求的值.3sin()35Bsin A16、如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，EABCDEABABCDABCD，点分别是的中点EAEB,M N,AE CD求证：（1）直线平面；（2）直线平面MNEBCEAEBC17、某城市有一直角梯形绿地，其中，ABCD90ABCBAD km，km现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分2ADDC1BC CDEEF成面积相等的两部分 （1）如图 1，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；ECDFABEF （2）如图 2，若在边界上，求灌溉水管的最短长度FADEF18、如图所示，椭圆 C：，左右焦点分别记作、，过、分别作直线 、交椭2 214xy 1F2F1F2F1l2l圆于、，且ABCD1l2l（1）当直线 的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；1l1kBC2k12k k（2）求四边形面积的最大值ABCD19、已知函数 f（x）=x2（a+2）x+alnx，其中常数 a0 （）当 a2 时，求函数 f（x）的单调递增区间；（）设定义在 D 上的函数 y=h（x）在点 P（x0，h（x0） ）处的切线方程为l：y=g（x） ，若0 在 D 内恒成立，则称 P 为函数 y=h（x）的“类对称点”当 a=4 时，试问 y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由20、已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，nannSaa 111nnnaarS其中，常数1arN（1）求证：是一个定值；nnaa2（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，naT*NnnTnaa则称为周期数列，为它的一个周期） ，求该数列的最小周期；naT（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（） ，问：数列中的na132n nc*Nnnc所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例naxyDCBF2F1OA江苏省扬州中学高三下开学考试附加题21、已知矩阵 A属于特征值的一个特征向量为 （1）求实数 b，的值；（2）若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C：x22y22，求曲线 C 的方程22、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以坐标原点为极xOy1C1 cossinxy O点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极x2Csincos3C坐标方程为 6（）把曲线的参数方程化为极坐标方程；1C（）曲线与曲线交于点、，曲线与曲线交于点、，求3C1COA3C2COBAB23、如图，在四棱锥中，平面， ，PABCDPAABCD90ABCBAD 4ADAP，为的中点2ABBCMPC（1）求异面直线，所成角的余弦值；APBM（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值NADANMNPBC4 524、已知1(1)2nx 展开式的各项依次记为1231( ),( ),( ),( ),( )nna x ax a xax ax设1231( )( )2( )3( ),( )(1)( )nnF xa xaxa xnaxnax（1）若123( ),( ),( )a x ax a x的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意12,0,2x x ，恒有1 12|()()| 2(2) 1nF xF xn.xyDCBF2F1OA6 高三下开学考试答案 一、填空题：3、 2、1 3、3 4、121 3 5，5、-2 6、7、3 8、100 9、6215 10、 11、 12、1 13、14、3 5ln5,25, 2e二、解答题： 15、解：（1）由，根据正弦定理，得， 2 分sin2sinbCcB2sinsincossinsinBCCCB因为，所以， 4 分sin0,sin0BC1cos2C 又，所以. 6 分(0, )C3C（2）因为，所以，所以，3C2(0,)3B(,)33 3B 又，所以. 8 分3sin()35B24cos()1 sin ()335BB又，即，2 3AB2 3AB所以2sinsin()3ABsin()sincos()cossin()333333BBB. 14 分34134 33 25251016、（1）取中点，连结，BEFCFMF又是的中点，所以，MAE1 2MFAB又是矩形边的中点，NABCDCD所以，所以，1 2NCABMFNC所以四边形是平行四边形，4 分MNCF所以，MNCF又平面，平面，MN EBCCF EBC所以平面7 分MNEBC（2）在矩形中，ABCDABBC 又平面平面，平面平面，平面，EABABCDABCDABEAB BC ABCD所以平面，10 分BC EAB又平面，所以，EAEABEABC 又，平面，EBEA BCEBBEBBC EBC所以平面14 分EAEBC17、（1）因为，2ADDC1BC 90ABCBAD 所以，2 分3AB 取中点，ABG则四边形的面积为，BCEF1 2EFGABCDBCEGSSS梯形梯形即，113(12)2213313(1)22222GF解得，6 分3 6GF 所以(km)223321( )()263EF 故灌溉水管的长度为km8 分EF21 3（2）设，在中，DEaDFbABC221( 3)2CA所以在中，ADC2ADDCCA 所以，60ADC所以的面积为，DEF13sin6024DEFSabab 又，所以，即12 分3 3 2ABCDS梯形33 3 44ab 3ab 在中，由余弦定理，得，ADC223EFababab当且仅当时，取“” 3ab故灌溉水管的最短长度为km16 分EF318、证明：（1）设，根据对称性，有11()A xy,22()B xy,11()Cxy,因为，都在椭圆 C 上，所以， 11()A xy,22()B xy,2 21 114xy2 22 214xy二式相减，22 2212 1204xxyy所以为定值22 212121 1222 2121211 4yyyyyykkxxxxxx （2） （）当的倾角为时，与重合，舍1l01l2l（）当的倾角不为时，由对称性得四边形为平行四边形1l0ABCD设直线 的方程为1(3 0)F ,1l3xmy代入，得 2 214xy22(4)2 310mymy 显然，0 1222 3 4myym1221 4yym所以2 2 122222132 3113 |()42 32244(4)OABmmSyymmm 设，所以，21mt 21mt (1)t,所以 2222111 9(4)69126mt mtttt当且仅当即时等号成立。9tt2m 所以，max1()2 3112OABS所以平行四边形面积的最大值为，maxmax()4 ()4ABCDOABSS19、解：（）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，a2，令 f（x）0，即x0，0x1 或所以函数 f（x）的单调递增区间是（0，1） ，（）猜想 y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为下面加以证明：当时，当时，f（x）g（x）恒成立，等价于恒成立，令，函数 （x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）g（x）恒成立同理当时，f（x）g（x）恒成立综上知 y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为20、解：（1）由， 得 11nnnaarS1211nnnaarS，得， )(211nnnnaaara因为，所以（定值） 0naraann2（2）当时，故， 1naa 112 aaraararaa11 2根据（1）知，数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是，所以，nar， rnaan) 1(12nraan1 2当时，的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， 0rna所以，所以，所以，数列是周期数列，其最小周期为 0raan12aan1 2na2（3）因为数