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2.3.2 抛物线的几何性质()【学情分析学情分析】: 由于学生具备了曲线与方程的部分知识,掌握了研究解析几何的基本方法,因而利用已 有椭圆与双曲线的知识,引导学生独立发现、归纳知识,指导学生在实践和创新意识上下工 夫,训练基本技能。 【教学目标教学目标】: (1)知识与技能:知识与技能: 熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质。 (2)过程与方法:过程与方法: 重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;启发学生能够发现问题和提出问 题,善于独立思考。 (3)情感、态度与价值观:情感、态度与价值观: 培养严谨务实,实事求是的个性品质和数学交流合作能力,以及勇于探索,勇于创新的 求知意识,激发学生学习数学的兴趣与热情。 【教学重点教学重点】: 熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质。 【教学难点教学难点】: 熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质及其应用。 【课前准备课前准备】: Powerpoint 或投影片 【教学过程设计教学过程设计】: 教学环节教学环节教学活动教学活动设计意图设计意图一、复习引入一、复习引入1已知抛物线的焦点坐标是 F(0,2),求它的标准方程解:焦点在x轴负半轴上,=2,所以所求抛物线的标准方 2p程是xy82 2.填空:动点 M 与定点 F 的距离和它到定直线的距离的比等 于 e,则当 0e1 时,动点 M 的轨迹是椭圆;当 e=1 时, 动点 M 的轨迹是抛物线;当 e1 时,动点 M 的轨迹是双曲 线 3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容: 通过离心率的填 空引出抛物线。引起 学生的兴趣。二、抛物线的二、抛物线的 几何性质几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质:引导学生填写表 格。通过对比,让学 生掌握抛物线的四种 图形、标准方程、焦 点坐标以及准线方程。曲 线抛 物 线方 程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图 形x y o F L x y o F L y o F L y o F L 焦 点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范 围x0x0y0y0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶 点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准 线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无xyoABFxyoABFxyoABF曲 线椭 圆双曲线方 程12222 by ax)0( ba12222 by ax)0, 0(ba图 形焦 点F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)范 围|x|a,|y|b|x|a,yR对称性中心、轴对称 中心、轴对称顶 点A1,A2, B1,B2A1(-a,0),A2(a,0)离心率e(0,1)e(1,+)准 线x=a2/cx=a2/c渐近线 无y=(b/a)xxyoF1F2L1L2xyoF1F2L1L2三、例题讲解三、例题讲解例例 1 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点A(4,2) ,求这条抛物线的准线方程。3 解:解:若抛物线开口向右,设抛物线的标准方程为22(0)ypx p 22 324pA 3 2p 抛物线的标准方程为3 4x 若抛物线开口向上,设抛物线的标准方程为22(0)xpy p 2422 3pA 4 3 3p 抛物线的标准方程为2 3 3y 例例 2 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯 口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处。 已知灯口的直径是 24cm,灯深 10cm,那么灯泡与反射镜的 顶点距离是多少?让学生运用抛物 线的几何性质,写出 符合条件的抛物线的 准线方程。三、例题讲解三、例题讲解分析:分析:依标准方程特点和几何性质建系,由待定系数法求解, 强调方程的完备性。 解:解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系, 使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合, 轴垂直 于灯口直径抛物线的标准方程为,由已知条件可得点 22(0)ypx p的坐标是(40,30)且在抛物线上,代入方程得: ,230240pA25 4p 所以所求抛物线的标准方程为,焦点坐标是 245 2y 运用抛物线的几 何性质解决现实生活 中的问题,提高学生 学习数学的兴趣和综 合解题能力。.例例 3 过抛物线的焦点F任作一条直线m,交这抛物pxy22线于A、B两点, 求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明:如图设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线 引垂l 线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,则 AFAD,BFBC ABAFBFADBC2EH 所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EHl,因而圆E和准线 相切l四、巩固练习四、巩固练习1过抛物线的焦点作直线交抛物线于,xy4211, yxA两点,如果,那么=( B )22, yxB621 xx| AB (A)10 (B)8 (C)6 (D)42已知为抛物线上一动点,为抛物线的焦点,Mxy42F定点,则的最小值为( B )1,3P|MFMP (A)3 (B)4 (C)5 (D)63过抛物线的焦点作直线交抛物线于、02aaxyFP两点,若线段、的长分别是、,则=( C QPFQFpq qp11)(A) (B) (C) (D)a2 a21a4 a44过抛物线焦点的直线 它交于、两点,则xy42FlAB弦的中点的轨迹方程是 AB122xy5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动,3ABABxy 2求中点到轴距离的最小值,并求出此时中点ABMyAB 的坐标M(答案: , M 到轴距离的最小值为) 22,45My456. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p0),则分层训练,让学 生牢牢掌握抛物线的 几何性质。xyE OFBADCH准线方因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距 离得 p=4 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x 又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3)解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m由题意在抛物线上且|MF|=5,故由学生演板五、课后练习五、课后练习1根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图 (1)顶点在原点,对称轴是x轴,顶点到焦点的距离等于 8 (2)顶点在原点,焦点在y轴上,且过P(4,2)点 (3)顶点在原点,焦点在y轴上,其上点P(m,3)到焦 点距离为 52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B 在准线上的射影是A2,B2,则A2FB2等于 3抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴 垂直的弦长为 16,求抛物线方程4以椭圆的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶1522 yx点作抛物线,求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米, 当水面下降 1 米时,水面宽是多少米?6已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在坐标原点,其上一点 M(2,m)到焦点的距离等于 3,求抛物线方程及 m 值。课后练习注意分 层训练,让学生牢牢 掌握抛物线的几何性 质。习题答案: 1 (1)y232x(2)x28y(3)x28y290 3x216 y 4545米 6y2=4x, m=或5202222练习与测试:练习与测试: 1.求适合下列条件的抛物线的方程: (1)顶点在原点,焦点为(0,5) ; (2)对称轴为x轴,顶点在原点,且过点(-3,4) 。 2.若P(x0,y0)是抛物线y2=-32x上一点,F为抛物线的焦点,则PF=( ) 。 (A)x0+8 (B) x0 -8 (C)8- x0 (D) x0 +16 3. 一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m,求水面宽度。4. 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标)22, 2( M准方程解:由题意,可设抛物线方程为,因为它过点,pxy22)22, 2( M所以 ,即 22)22(2p2p因此,所求的抛物线方程为xy425.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置 分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物 线上一点坐标,从而求出p值 解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶 点)与原点重合,x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是 (p0)pxy22由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30),代入方程,得,402302p即 445p所求的抛物线标准方程为xy2452
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