第四节第四节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质学点：探究与梳理学点：探究与梳理自主探究自主探究探究问题探究问题 1：定义在上的函数，给出以下结论： Rsin (sincos )( )cos (sincos )xxxf xxxx是周期函数；的最小值为；当且仅当时，取最( )f x( )f x12()xkkZ( )f x大值；当且仅当时，；的图象上相2(21)()2kxkkZ( )0f x ( )f x邻最低点的距离是其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）2并探讨此函数的周期性与对称性探究问题探究问题 2：已知定义在上的奇函数在区间上单调递增，若，R( )f x(0,)1( )02f的内角满足，则角的取值范围是（ ） ABCA(cos)0fAAA B C D 2, )3,3 2 2, )3 23 2,33探究问题探究问题 3 3：你能根据三角函数的图象的某些性质解决下列两个问题吗？若函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这2cosyx02x2y 个封闭图形的面积为（ ）A4 B8 C D24设函数 f (x)的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在a，b上的面积，已知函数 ysin（nx）在0，上的面积为（nN*） ， （i）ysin3x 在0,n n2上的面积为 ；（ii）在，上的面积为 32sin(3)1yx3 34重点把握重点把握1正弦函数 ysinx、余弦函数 ycosx 的定义域都是实数集 R，或(，)；正切函数定义域为利用三角函数的定义域可求出由它们与其tanyx|,2x xkkZ它函数复合而成的函数的定义域2由图象可得到正弦函数、余弦函数的值域都是1，1；正切函数的值域为 R利用三角函数的值域和最值（有界性）可求出由它们复合而成的函数的值域和最值三角函数最值（有界性）问题是三角函数性质的重要内容之一，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：注意注意 sinx、cosx 自身的变化范围；自身的变化范围；注意条件中角的范围注意条件中角的范围；注意题中字母注意题中字母(参数参数)的讨论的讨论；注意代换后参数的等价性注意代换后参数的等价性3正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k(kZ，k0)都是它的周期，最小正周期是 2正切函数的周期为(kZ，k0)，最小正周期为Tk4函数奇偶性的实质：函数的奇偶性实质上图象的对称性，即奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称y5正弦曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形，其所有的对称中心的坐标是（） ，所有的对称轴的方程是（） ，且在对称轴处取得最大值(,0)kkZ2xkkZ或最小值；余弦曲线既是中心对称图形，也是轴对称图形，其所有的对称中心的坐标是（） ，所有的对称轴的方程是（） ，且在对称轴处取得最大值(,0)2kkZxkkZ或最小值；正切曲线是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为02k，k Z题例：题例：解析与点拨解析与点拨例例 1 1 不通过求值，指出下列各式大于 0 还是小于 0(1)sin()sin()；(2)cos()cos()18 10 523 417解析解析：(1)且函数ysinx在，是增函数，2 10 18 2 2 2sin()sin()，即 sin()sin()0；10 18 18 10(2)cos()coscos，cos()coscos，523 523 53 417 417 40，且函数ycosx，x0，是减函数，4 53coscos，即 coscos0，cos()cos()053 4 53 4 523 417点拨点拨：此例实际上是比较函数值的大小的问题，关键是将角转化到某个函数的同一单调区间内，然后利用单调性求解解题中要注意诱导公式的灵活运用例例 2 设函数图像的一条对称轴是直线， （）求；( )sin(2) (0)f xx8x（）求函数的单调增区间)(xfy 解析解析：（）是函数的图像的对称轴，8x( )yf xsin(2)18 （） ， 又 ， 42kkZ03 4 （）由（）知，由题意得（3 4 3sin(2)4yx3222242kxk） ，kZ所以函数的单调递增区间为（） 3sin(2)4yx5,88kkkZ点拨点拨：由图象可知，正弦、余弦函数在对称轴上取得最值，然后由的范围可求出的值而要求单调区间，可利用函数的单调区间（或画出函数的图象）求解sinyx例例 3 求函数的单调递减区间2sin(3 )4yx解析解析：，的单调递增区间即为原函2sin(3 )2sin(3)44yxx 2sin(3)4yx 数的单调递减区间，由（） ，可得（232242kxkkZ22 31234kxk） ，函数的单调递减区间为kZ2sin(3 )4yx22,312 34kk点拨点拨：对于形如（）的单调区间的求法，首先考虑 A、的sin()yAx0A符号，再将视为整体，利用的单调区间整体运算，解出的范围即可要防xsinyxx止直接求解而出现的失误如该题，很容易出现通过不等式（3232242kxk ）来解，造成会而不对的错误（不信你试一试） 今后解此类问题时，应注意将自变kZ量的系数化为正数求解例例 4 求函数的周期及最大值和最小值sin(4 )cos(4)36yxx解析解析：，(4 )(4)362xx，cos(4)cos(4 )cos(4 )sin(4 )66233xxxx原函数为，此函数的周期为2sin (4 )3yxsin 4()sin (4 )323xx；2当（） ，即（）时，；4232xkkZ242kxkZmax2y当（） ，即（）时，34232xkkZ5 242kx kZmin2y 点拨点拨：求与三角函数有关的函数的周期与最值的基本方法通常是化为的形式来解此例中要注意观察题中隐含的条件，sin()yAxb(4 )(4)362xx然后利用诱导公式进行转化，这是解题的关键这所在例例 5 是否存在实数 a，使得函数 y=sin2xacosxa在闭区间上的最大值85 23 2, 0是 1？若存在，求出对应的 a 值；若不存在，说明理由解析解析：y=1cos2xacosxa=，当 0x时，85 23 21 85 42cos22 aaax20cosx1 若1，即 a2，则当 cosx=1 时，yma x=a+-=1，a=2(舍)； 若2aa85 23 132001，即 0a2，则当 cosx=时，ymax=1，a=或 a=4(舍)；若2a 2a 21 85 42 aa 230，即 a0 时，则当 cosx=0 时，ymax=1，a=0(舍) 综上所述，存在2a 21 85a512a=符合题设23点拨点拨：此例属于可化为二次函数的最值问题，解题方法主要是通过换元化为二次函数在某个区间上的最值问题求解由于题中含有参数，故要用分类讨论的思想去考虑对称轴与区间的位置关系对于二次函数的问题，求解时要注意四个方面：开口方向、对称轴位置、判别式的情形、区间端点处的函数值求三角函数的最值的类型与方法：形如bxaysin或bxaycos的类型，可根据xx cos,sin的有界性来求最值；形如cxbxaysinsin2或cxbxaycoscos2的类型，可通过换元转化为二次函数在区间上的值域或最值，因为此时可通过角的范围求出、的范围；形如或的类xsin xcosx2sin1 2sin1xyx2cos1 2cos1xyx型，可先解出、，然后根据xx cos,sin的有界性来求最值sin xcosx例例 6 已知是定义在上的奇函数，且当时，当( )f x(,) 0x ( )sincosf xxx时，求；xR( )f x已知（、为常数） ，且，求3( )sin1f xaxbxab(5)7f( 5)f 解析解析：是定义在上的奇函数，当时，有；当时，( )f x(,) 0x (0)0f0x ，又， 0x ()sin()cos()sincosfxxxxx ()( )fxf x ，( )sincosf xxxsincos ( 0)( )0 (0)sincos ( f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(3) Cf(3)f(2)f(1) Df(1)f(3)f(2)12若函数在sinx1时取最大值，在sinxa时取得最小值，则实数2(sin)1yxaa满足（ ）A0a1 B1a0 Ca1 Da113函数的定义域是（ ）2cos1yxA B2,2()33kkkZ 2,2()66kkkZ C D22,2()33kkkZ 222,2()33kkkZ 14已知函数的周期为 T，在一个周期内的图sin()(0,0,|)2yAxB A像如图所示，则正确的结论是（ ）AB3,2AT2, 1BC D 6,4T6, 3A15 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，sin()3yx再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（ ）3AB1sin()26yx1sin()23yxCD1sin2yxsin(2)6yx16函数 的递增区间是（ ）0.6( )logcosf xxA（） B （）2,22kkkZ2,22kkkZC（） D（）2,22kkkZ2,22kkkZ17函数的值域是（ ）xx xxxxytantan coscossinsinA B C D 3 , 1 , 0 , 13 , 0 , 13 , 11 , 118已知函数的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为，直sin()yAxm2线是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（ ） 3xA B4sin(4)3yx2sin(2