894545 数列求和数列求和 一、学习内容：一、学习内容： 必修四 6872 二、课标要求：二、课标要求： 能在具体的问题情景中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相 应 的问题（数列求和） 三、基础知识：三、基础知识：数列求和的常见方法有：数列求和的常见方法有： 1 1、 公式法：公式法： 等差数列的求和公式_nS ，等比数列的求和公式_nS 2 2、分组求和法：、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 （常见：等差常见：等差+ +等比型或多个特殊数列混合在一起等比型或多个特殊数列混合在一起）即：即：将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，然后利用公式法求和。3、倒序相加法倒序相加法：如果一个数列an ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法， （等差数列求和公式）将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和4、错位相减法错位相减法：适用于适用于： “等差等差等比等比”型型 的的数列求和特征：特征：适应于数列nna b的前 n 向求和，其中 na成等差数列， nb成等比数列。方法：方法：给12nnSaaa各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前 n 项和 Sn.5、裂项相消法裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。把一个数列分成几个可直接求和的数列常见的拆项公式：常见的拆项公式：(1) 1_()n nk； (2)1_ab四、基础练习四、基础练习901已知数列an是首项a14，公比q1 的等比数列，Sn是其前n项和，且 4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值【答案】 (1)1 (2)4n【解析】 (1)由题意得 2a54a12a3.an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21 的等比数列，Tnna24n.【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式2求数列 1，2，4，的前 2n项和S2n.1 21 41 8【答案】 2n1 2n【解析】 S2n(1242n1)( )2n112n.1 21 41 81 2n1 2n1 2n【点评】将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形3. 已知数列an中，a11，当n2 时，其前n项和Sn满足San.2n(Sn1 2)(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.Sn 2n1【解析】 (1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，2n(Sn1 2)2n(Sn1 2)即 2Sn1SnSn1Sn， 由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为 2 的等1 Sn1 Sn11 Sn1 S11 a1差数列12(n1)2n1，Sn.1 Sn1 2n1(2)又bn，Sn 2n11 2n12n11 2(1 2n11 2n1)Tnb1b2bn.1 2(11 3)(1 31 5)(1 2n11 2n1)1 2(11 2n1)n 2n191【点评】裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的4.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN N)(1)求数列an的通项an；(2)求数列nan的前n项和Tn.【解析】 (1)an12Sn，Sn1Sn2Sn，3.Sn1 Sn又S1a11，数列Sn是首项为 1，公比为 3 的等比数列，Sn3n1(nN N)当n2 时，an2Sn123n2，anError!(2)Tna12a23a3nan，当n1 时，T11；当n2 时，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得：2Tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1.313n2 13Tn 3n1(n2)1 2(n1 2)又T1也满足上式，故Tn 3n1(nN N)1 2(n1 2)【点评】如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论【练习】5(2011浙江文)已知公差不为 0 的等差数列an的首项a1为a(aR R)，且， ，成等比数1 a11 a21 a4列(1)求数列an的通项公式；(2)对nN N*，试比较与的大小1 a21 a221 a231 a2n1 a1【解析】 (1)设等差数列an的公差为d，由题意可知()2，1 a21 a11 a4即(a1d)2a1(a13d)从而a1dd2.因为d0，所以da1a.故通项公式anna.92(2)记Tn，因为a2n2na，1 a21 a221 a2n所以Tn ( ) 1( )n1 a1 21 221 2n1 a1 211 2n1121 a1 2从而，当a0 时，Tn.1 a11 a16求数列 0.9,0.99,0.999，0.999 前n项的和Sn.【答案】 n (10.1n)1 97已知直线(3m1)x(1m)y40 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第一项与第二项，若bn，数列bn的前n项和为Tn，则T10( )1 anan1A. B. C. D.9 2110 2111 2120 21【答案】 B【解析】 依题意，将(3m1)x(1m)y40 化为(xy4)m(3xy)0，令Error!，解得Error!，所以直线(3m1)x(1m)y40 过定点(1,3)，所以a11，a23，公差d2，an2n1，bn ()，T10 ( ) ( ).1 anan11 21 2n11 2n11 21 11 31 31 51 2011 2011 21 11 2110 21故选 B.8. 设正项等比数列an的首项a1 ，前n项和为Sn，且 210S30(2101)S20S100，1 2(1)求an的通项；(2)求nSn的前n项和Tn.【解析】 (1)an，n1,2，1 2n(2)an是首项a1 ，公比q 的等比数列，1 21 2Sn1，nSnn.1 211 2n1121 2nn 2n则数列nSn的前n项和93Tn(12n)( ) 1 22 22n 2n (12n)() Tn 21 21 222 23n1 2nn 2n1，得 (12n)( )Tn 21 21 21 221 2nn 2n1，nn1 41 211 2n112n 2n1即Tn2. nn1 21 2n1n 2n9 9、 （20112011 重庆文重庆文 16)16)（本小题满分 13 分， （）小问 7 分， （）小问 6 分）设na是公比为正数的等比数列，12a ，324aa。（）求na的通项公式；（）设 nb是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列nnab的前n项和ns。解：（解：（I I）设 q 为等比数列na的公比，则，由 1322,4aaa， 2224qq得 即220qq，解得 21qq 或（舍去） ， 因此 2.q 所以：所以：na的通项为1*2 22 ().nn nanN（IIII）设）设na的前n项和为nS， nb的前n项和为nT 通项：通项：( ( 等差等差+ 等比等比 分组求和分组求和 ) )则 2(12 ),12nnS (1)122nn nTn 2(12 )(1)12.122nnnnn nSSTn 1222.nn9410.(2012 江西理 16)已知数列an的前n项和21()2nSnkn kN ,且Sn的最大值为 8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列922n na的前n项和Tn。错位相减法错位相减法11 （2013 年高考江西卷（理） ）正项数列an的前项和an满足:222(1)()0nnsnnsnn(1)求数列an的通项公式 an; 裂项求和裂项求和(2)令221 (2)nnbna,数列bn的前n项和为nT.证明:对于任意的*nN,都有5 64nT 【答案】(1)解:由222(1)()0nnSnnSnn,得2() (1)0nnSnnS. 由于 na是正项数列,所以20,nnSSnn. 于是112,2aSn时,22 1(1)(1)2nnnaSSnnnnn. 综上,数列 na的通项2nan. (2)证明:由于2212 ,(2)nn nnan bna. 95则22221111 4(2)16(2)nnbn nnn. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)nTnnnn 222211111151(1)162(1)(2)16264nn. 备用备用例例 1 1、求、求1111.2 43 54 6(1)(3)nn的值。 解析：由解析：由1 (1)(3)nann111()213nn通项：分式型通项：分式型，分母，分母为乘积：裂项求和为乘积：裂项求和1 111 111 111 11()()()()2 242 352 462 57nS1111 11111()()()21122213nnnnnn1 11111111111111()2 2435465711213nSnnnnnn1 1111()2 2323nSnn