归 纳 推 理,前提 当n=0时，n2-n+11=11 当n=1时，n2-n+11=11 当n=2时，n2-n+11=13 当n=3时，n2-n+11=17 当n=4时，n2-n+11=23 当n=5时，n2-n+11=31,结论 对于所有的自然数n, n2-n+11的值都是质数,11,11,13,17,23,31都是质数,“任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和”,-歌德巴赫猜想,结论:,哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理 .“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。,从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.,归纳推理的几个特点:,1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.,2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.,3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.,归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.,需证明,归纳推理的一般步骤：,试验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,例1.已知数列an的第1项a1=1，且 （n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式.,分别把n=1,2,3,4代入 得:,归纳:,可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.,取倒数得：,解法2、构造法,例2.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:,例3(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有 个点.,(1),(2),(3),(4),(5),例4(2005年广东)设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,f(4)= , 当n4时,f(n)= .(用n表示),累加得:,例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.,4,6,4,5,5,6,5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,欧拉公式,(2001年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：,设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2与 (x-c)2+(y-d)2=r2（ac或bd), 则由式减去式可得上述两圆的对称轴 方程.,小结,2.归纳推理的一般步骤:,(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;,(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).,1.什么是归纳推理（简称归纳）?,部分 整体,个别 一般,作 业,1.已知数列an的前n项和Sn , 且 计算S1 , S2 , S3 , S4 ,并猜想Sn的表达式.,猜想:,计算得:,