高中数学知识要点重温（21）排列组合及二项式定理1. 熟悉排列数、组合数的计算公式；了解排列数、组合数的一些性质：!) 1()!1(nnn，由此可得：!)!1(!nnnn，)!1(1 !1 )!1(nnnn，为相应的数列求和创造了条件；mn nm nCC；m nm nm nCCC11 1 ，由此得：1 121 r nr nr rr rr rCCCCCL；举例 1832131920 321345 2134 131LLL=_解析解析：原式=211920 2145 2134 2123 2112 L；记2) 1( nnan，数列na的前19 项和即为所求。记数列na的前n项和为nS；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到2) 1( nnan=2 1nC，19S=2 202 42 32 2CCCCL=2 202 42 33 3CCCCL=2 202 43 4CCCL=3 21C=1330；巩固 1设*Nx且10x，则)29()21)(20(xxxL等于 （ ）（A）10 20 xA（B）x xA 20 29（C）9 29 xA（D）10 29 xA巩固 2 已知nx)1 ( 的展开式中第 9 项、第 10 项、第 11 项的二项式系数成等差数列，则 n=_2解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事） ，分步相乘分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件） ；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施） ；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。举例 设集合 I=1,2,3,4,5，选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中的最大数，则不同的选择方法共有：（ ）种A50 种 B49 种 C48 种 D47 种解析：本题要完成的事件是：构造集合 I 的两个非空子集；要求：B 中最小的数大于 A 中的最大数；显然 B 中的最小数不可能是 1，以下分类： B 中的最小数是 2，B 中可以有2，3，4，5中的 1 个元素、2 个元素、3 个元素或 4 个元素，所有可能的情况有：3 32 31 30 3CCCC=8 种，此时 A 只有1这 1 种；集合 A、B 都确定了，才算完成事件，完成事件有 81=8 中方法； B 中的最小数是 3，B 中可以有3，4，5中的 1 个元素、2 个元素或 3 个元素，所有可能的情况有：2 21 20 2CCC=4 种，此时 A 中可以有1，2中的有 1个元素或 2 个元素，有2 21 2CC =3 种，完成事件有 43=12 种方法； B 中的最小数是4，B 中可以有4，5中的 1 个元素或 2 个元素，所有可能的情况有 2 种，此时 A 中可以有1，2，3中的有 1 个元素、2 个元素或 3 个元素，有3 32 31 3CCC=7 种，完成事件有27=14 种方法； B 中的最小数是 5，只有5这 1 种，此时 A 中可以有1，2，3，4中的有 1 个元素、2 个元素、3 个元素或 4 个元素，有4 43 42 41 4CCCC=15 种，完成事件有115=15 种方法；故完成事件的方法总数为：8+12+14+15=49，选 B。巩固从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任选 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母 O，Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)3对“按某种要求将n个元素排到m个位置”的问题，首先要确定研究的“抓手”：抓住元素还是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）优先的原则进行。举例 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期四到星期日参加公益活动，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，则不同的选派方法共有 种。解析：本题要完成的事件是：从 5 个不同的元素中选出 4 个元素，并按要求排在四个不同的位置。本题不宜抓住元素研究，因为每一个元素都不一定被选到，而每一个位置上都一定要有一个元素，故应该抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，优先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，优先）或除甲乙之外的一个同学，安排乙：其它位置可任意安排，有3 4A种，不安排乙：可以安排其他三位同学，星期日可以安排甲或另外两个同学，星期四、五可任意安排，有2 31 31 3ACC 种，故不同的选派方法共有：3 4A+2 31 31 3ACC=78 种。巩固四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。 （1）恰有两个空盒的放法有 种；（2）甲球只能放入 2 号或 3 好盒，而乙球不能放入 4 号盒的不同放法有 种。4解决排列组合问题还要遵循“先选后排” 、 “正难则反” （即去杂法）等原则；举例某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡” ，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） （福建文科第 12 题）2000409659048320解析：直接考虑带有数字“4”或“7”的情况太多，逐一讨论非常麻烦；考虑事件的反面：后四位不带有数字“4”或“7”的，有 84个，故“优惠卡”的个数为 104-84=5904。巩固四位同学乘坐一列有 6 节车厢的动车组，则他们至少有两人在同一节车厢的的情况共有 种？(用数字作答)5熟悉几个排列组合问题的基本模型：部分元素“相邻” （捆绑法） ，部分元素“不相邻” （用要求“不相邻”的元素插空） ，部分元素有顺序（n个元素全排，其中m个元素要求按给定顺序排列的方法数为)!(mnCm n=! mn） ，平均分组（kn个元素平均分成k组的方法数为!)2()1( kCCCCn nn nkn nkn nkL） ，相同元素分组（用“挡板法” ）等。举例 1某校安排 6 个班到 3 个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。解析：先将 6 个班分成 3 组，在将 3 个组分到 3 个工厂。6 个班分成 3 组，从每组的人数看有 3 类：4，1，1，有4 6C种；3，2，1，有2 33 6CC种，2，2，2，有! 32 22 42 6CCC种；故不同的安排方法共有：（4 6C+2 33 6CC+! 32 22 42 6CCC）3 3A=540 种。举例 2某文艺小分队到一个敬老院演出，原定 6 个节目，后应老人们的要求决定增加 3 个节目，但原来六个节目的顺序不变，且新增的 3 个既不在开头也不在结尾，则这台演出共有种不同的演出顺序。解析：思路一：着眼于“位置” 。从 9 个“位置”中选出 6 个，安排原来的 6 个节目，且第1 和第 9 两个位置必须选，而他们的顺序是既定的，无需排列，所以有4 7C种方法，剩下的 3个位置安排新增的 3 个节目，有3 3A种方法；故所有不同的演出顺序有：4 7C3 3A=210 种。思路二：在原有 6 个节目的基础上“插空” 。原来 6 个节目形成 7 个“空” ，但前后两“空”不能安排，共有 3 类情况：新增的 3 个节目互不相邻，有3 5A种方法；新增的 3 个节目恰有两个相邻，有2 52 3AA种方法；新增的 3 个节目相邻，有 53 3A种方法，故所有不同的演出顺序有：3 5A+2 52 3AA+53 3A=210 种。巩固 1记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） （07 高考北京理科第 5 题）1440 种960 种720 种480 种巩固 2学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩ix89，90，91，92，93（i=1，2，3，4）且满足4321xxxx，则这四为同学考试成绩所有可能的情况有 种。a1a2a3a4a5红黄蓝红蓝黄蓝红黄蓝黄 蓝黄蓝a1a2a3a4a5巩固 3现有 10 个市级“三好生”名额分配给高三八个班级，每班至少 1 个，则有 种不同的分配方案。6 “抽象化归”是解决排列组合问题的“太极拳” ， “逐一列举”是解决排列组合问题的“撒手锏” ；有时，画“树状图”能使“逐一列举”变得更加简明、直观。举例 1已知两个实数集合 A=a1,a2,a100,B=b1,b2, ,b50,若从 A 到 B 的映射 f 使得 B中每个元素都有原象，且 f( a1)f(a2)f(a100),这样的映射共有 个。(用符号作答)。解析：本题直接考虑集合 A 中每一个元素在 B 中的象的情况非常困难。注意到集合 B 中每个元素都有原象，即 A 中有 50“组”元素分别与 B 中的 50 个元素对应；现将集合 A 中的 100个元素按原有的顺序分成 50 组，每组至少一个元素；将集合 B 中的元素按从小到大的顺序排列为 B=b1/,b2/, ,b50/；f( a1)f(a2)f(a100)，A 中的“第 1 组”元素的象为 b1/， “第 2 组”元素的象为 b2/， “第 50 组”元素的象为 b50/，此处没有排列的问题，即只要 A 中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而 A 中元素的分组可视为在由这 100个元素所形成的 99 个“空”中插上 49 块“挡板” ，所以有49 99C种分法，即映射共有49 99C个。举例 2一个同心圆形花坛分为两个部分，如右图，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分成 5 等份为 a1,a2,a3,a4,a5,种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植的方法为 种。解析：本题解法甚多，这里介绍画“树状图”列举法。在右图中，区域 a1种红花，a2种黄花时共有 5 种不同的种植方法；而区域 a2种蓝花与种黄花情况相同，区域 a1种蓝花、黄花与种红花情况相同；故所有不同的种植的方法为：325=30 种巩固 1显示屏有一排 7 个小孔，每个小孔可显示 0 或1，若每次显示其中 3 个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有（ ）种A10 B48 C60 D80巩固 2 函数 f:1,2,31,2,3满足 f(f(x)= f(x)，则这样的函数个数共有（ ）(A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个7二项式定理的核心是展开式的通项，通项，Tr+1=r nCan-rbr(通项是展开式的第 r+1 项), r=0,1,2n ，二项展开式共有 n+1 项。展开式的通项中根式宜用分数指数表示。审题是要注意所求的是“项”还是“第几项”还是“项的系数” 。举例8 21(12)xxx的展开式中常数项为 （07 高考全国卷理科第 13 题）解析：先求8)1(xx 的展开式中常数项以及含 x -2的项；rrr rxxCT)1(8 81