电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 1 -1. 根据算符的微分性与矢量性推导下列公式BABAABABBArrrrrrrrrr)()()()()(+=AAAAArrrrr)(21)(2=解1BABAABABBAvvvvvvvvvv)()()()()(+=首先算符是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题将作用于BAvv和又是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式bacbcabacvvvvvvvvv)()()(=可得上式其中右边前两项是作用于Av 后两项是作用于Bv2根据第一个公式令AvBv 可得证2. 设 u 是空间坐标 xyz 的函数证明.)()()(duAduuAduAduuAududfufrrrr=证明 1ududfezu dudfeyu dudfedudfezufeyufexufufzyxxuzyx=+=+=rrrrrr)()()()(2duAduzu dzuAd yu duuAdxu duuAd zuzA yuAxuAuAzyxzyxrrrrrrrr=+=+=)()()()()()()(3=+= =zxy yzx xyzzyuxzyxeyA xAexA zAezAyAuAuAAzyxeeeuArrr rrrrrrrrrrrrr)()()()()()()(电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 2 -duAdueyu duAd xu duAdexu duAd zu duAdezu duAdyu duAdzxy yzx xyzrrrr rrrrrr=+=)()()(3. 设222)()()(zzyyxxr+=为源点x到场点 x 的距离r 的方向规定为从源点指向场点1 证明下列结果并体会对源变数求微商)( zeyexezyx+=rrr与对场变数求微商)(zeyexezyx+=rrr的关系)0.(0, 0,11,3 333=rrr rr rr rr rrrrrrrrrrr(最后一式在人 r0 点不成立见第二章第五节)2求均为常矢量及其中及000,),sin()sin(),(,)( ,EkarkErkErararrrrrrrrrrrrrrrrr证明3)()()( =+=zzz yyy xxxrr0= =zzyyxxzyxeeerzyxrrrr) () () )()()(zyxzyxzzyyxxezzeyyexxezeyexeaeaearavrvvvvvvvrv+=) () () )(zyxzyxezzeyyexxzayaxavrv+=aeaeaeazzyyxxvvvv=+=ararrararavvvrvvvvvv+=)()()()()(aararravrvvvvv+=)()()(araravvvvv+=)()()(sin()(sin()sin(000ErkErkrkErrrrrrrrr+=电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 3 -0)sin()sin()sin(Eerkzerkyerkxzyxrrrrrrrrr+=)(cos()(cos(0EkrkEekekekrkzzyyxxrrrrrrrrrr=+=000)sin()sin()sin(ErkErkrkErrrrrrrrr+=4. 应用高斯定理证明 = SVfSdfdVrrr应用斯托克斯Stokes定理证明= LSl dSdrr证明1)由高斯定理= SVgSdgdVrrr即+=+SzzyyxxVzyxdSgdSgdSgdVzg ygxg)(而dVkfyfxjfxfzifzfydVfxyzxyzV)()()(rrrr+=+=dVifjfzkfifyjfkfxyxxzzy)()()(rrrrrr又)()()(kSdfdSfjdSfdSfidSfdSffSdySxxyxzzxzyyzSrrrrr+=+=zyxyxzxzydSifjfdSkfifdSjfkf)()()(rrrrrr若令ifjfHkfifHjfkfHyxZxzyzyxrrrrrr=,则上式就是= SVHSddVHrrr ,高斯定理则证毕2)由斯托克斯公式有= SlSdfl dfrrrr+= lzzyyxxldlfdlfdlfl df)(rr+= SzxyyzxxyzSdSfyfxdSfxfzdSfzfySdf)()()(rr而+= lzkyjxildldldll d)(r电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 4 -+= SyxxzzySkdSxdSyjdSzdSxidSydSzSdrrrr)()()(+=zyxdSiyjxdSkxizdSjzky)()()(rrrrrr若令kzjyixfff=,则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为,),()(= VdVxtxtPrrr利用电荷守恒定律0=+tJr 证明Pr 的变化率为= VdVtxJdtPd),(rrr证明=VVdVxjdVxttPrrrrr=VxVxdVjxjdVjxjxdVxjtP)()()()(rrrrr= SxSdj xdVjrr若)0( , 0)(,=SjSdj xSrrr则同理=)( ,)(dVjtdVjtzzyyrr即= VdVtxjdtPd),(rrr6. 若mr是常矢量证明除 R0 点以外矢量3RRmArrr=的旋度等于标量3RRmrr=的梯度的负值即=Ar其中 R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点 证明mrmrrmrmRmRRmAvvvvvvvv)1()1(1)(1)()1()(3+=电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律- 5 -)0( ,1)(=rrmvrmmrrmrmRRm1)()()1()1()1()(3=vvvvvv rmmr1)()1(=vv=Av7有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球介质的电容率为使介质内均匀带静止自由电荷f求1 空间各点的电场 2 极化体电荷和极化面电荷分布解1=dVSdDfSrr , (r2rr1)frrrD)(3443 132=即)( ,3)(1233 13 rrrrrrrEf=rr由)( ,)(34 23 13 2 00rrrrQSdEffS= rr)( ,3)( 23 03 13 2rrrrrrEf=rr01时Errrrr1时)(22 12rrjSdjrHl dHfSfl=rrrrrjrrr rrrjBffrrv=22 122 122)( 2)(当 rr2时 )(22 12 2rrjrHf=rjrrrBfrrr=22 12 20 2)()2() 1()()(22 12000 rrrrjHHMJfMM=rrrrr )( ,) 1() 1(21 00rrrjHf0R且 =0000cosRRRRE外外0是未置入导体球前坐标原点的电势根据有关的数理知识可解得)cosRRan1nn n n 0n外Pb由于00cos外RE R= 即00 21210210cos)(coscos)(coscosa+=+=+=REPRb Rb RbPRaRaR nnnnnnn n外故而有) 1(0),1(0,0100=nbnaEaanncosbcos210 00Rb RRE+外电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 3 -又02 0100 000cosbcos, 00=+=Rb RRERRRR即外外故而又有 =+=+ 0coscos2 01 000 00 0RbRERb得到 2 0010000,)(REbRb=最后得定解问题的解为)(cos)(cos03 00000 00RRRRE RRRE+=外2当导体球上带总电荷 Q 时定解问题存在的方式是=+=nbPn项故cosbcos210 00Rb RRE+外又有 0RR=外是一个常数导体球是静电平衡CRb RRERR=+=cosbcos2 0100 0000外3 0012 01 000coscosREbRbRE=+即电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 4 -coscos23 000 00RRE RbRE+外又由边界条件Q外s0dsr 004Qb =0, 0 00R4RRQ+外3 均匀介质球的中心置一点电荷fQ球的电容率为球外为真空试用分离变数法求空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较提示空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQ 4f与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加后者满足拉普拉斯方程 解一. 高斯法在球外0RR,由高斯定理有fPfQQQQsdE=+=总rr0对于整个导体球而言束缚电荷)0=PQ2 04RQEf =r积分后得是积分常数外CCRQ.(40f+又由于0, 0=CR外)(40 0RRRQf=外在球内0RR0 0f00ff0 0f,444,R4RRRQ RQ RQRRQ内外电动力学习题解答参考 第二章 静电场- 6 -4 均匀介质球电容率为1的中心置一自由电偶极子fPr 球外充满了另一种介质电容率为2求空间各点的电势和极化电荷分布提示同上题43 1+=RRPfrr,而满足拉