第 1 章 矢量与坐标 第 1 章 矢量与坐标 1.1 矢量的概念矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： （1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为 2 的两点 2. 设点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 在矢量OA、OB、 OC、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、 DE、EF 和FA中，哪些矢量是相等的？ 解：如图 1-1，在正六边形 ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图 1-1 A F B E C O .DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和 3. 设在平面上给了一个四边形 ABCD，点 K、L、M、N 分别是边 、 、 、 的中点，求证：KLNM. 当 ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ 证明： 如图 1-2， 连结 AC, 则在BAC 中， KL 2 1 AC. KL与AC方向相同； 在DAC 中，NM 2 1 AC. NM与AC方向相同，从而 KLNM 且KL与NM方向相同，所以KL NM. 4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量： (1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG ; (4) AD、GF; CH. BE、(5) 解：相等的矢量对是 （2） 、 （3）和（5） ； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4） 。 1.3 数量乘矢量数量乘矢量 图 13 D E ba,应满足什么条件？ 1.要使矢量下列各式成立， ;baba=+;baba+=+ （2）（1） ;bab;baba+ （4）a=（3）+= （5）.bba a= 解：baba=+ba的直垂直时有,所在线（1）； ;baba+=+ba, （2） 同向时有 ;baba,b且 （3）ba,有a=+ 反向时 ba,反向时有 （4）;baba+= （5）ba时有.baba= ba,同向，且 AL, BM , CN2. 设 L、 M、 N 分别是ABC 的三边 BC、 CA、 AB 的中点， 证明： 三中线矢量 可 以构成一个三角形. 证明： )( 2 1 ACABAL+= )( 2 1 BCBABM+= )( 2 1 CBCACN+= 0)( 1 +=+ 2 =+CBA 从而三中线矢量 CBCBAACABCNBMAL CNBMAL,构成一个三角形。 N 是ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 3. 设 L、M、 OBOA+OC=OL+OM+ON. LAOLOA+= 证明 MBOMOB+= NCONOC+= )(LAOCOBOA=+ NCMBONOMOL+ =)(ONOMOL+CNBMAL+ 由上题结论知：0=+CNBMAL ONOMOLOCOBOA+=+ 4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. 证明：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点 但 OBODOCOA OBOCOAOD BCAD OBOCBC OAODAD +=+ = = = = 图 1-4 )(OCOA+,AC)(ODOB +,BD不平行于BD而AC， 由于 0=+=+OBODOCOA， 从而 OA=OC，OB=OD。 M行四边形 ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 5. 如图 1-5，设是平 OA+OB+OC+OD4OM. OM证明：因为 2 1 (OA+OC), OM 图 1-5 2 1 (OB+OD), 所以 2OM 2 1 (OA+OC+ODOB) 所以 OA+OB+OC+OD4OM. 6. 设点 O 是平面上正多边形 A1A2An的中心，证明: 0 ? . 1 OA+ 2 OA+ n OA 证明：因为 3 OA 2 OA, 1 OA 2 OA 4 OA 3 OA, 1n + 1 OAO n AOA, n OA 2 AO 1 OA, 21 OA+OA+所以 2(+ n ) OA 1 OA+ 2 OA+ n OA), ( 0 ? . 1 OA 2 OA+ n OA所以 ()(2+) 显然 2, 即 20. 所以 1 OA+ 2 OA+ n A0 ? O. 1. 矢量的线性关系与矢量的分解矢量的线性关系与矢量的分解 4 1. 设一直线上三点 A, B, PAPPB(1),O 是空间任意一点，求证： 满足 + OBOA OP +1 证明：如图 1因 -7，为 OPOA, AP OBOPPB, OA (OBOP OP 所以 ), OA+OB, )OP(1+ 图 1-7 + OBOA . OP从而 +1 AC 1 2 eABe2. 在ABC 中，设，AT 是角 A 的平 它BCAT分解为 1 e, 2 e分线（与交于 T 点） ，试将 图 1-8 的线性 组合. 解：因为 | |e |TC |BT | 1 1 e , 且 BT与TC方向相同， 所以 | | 1 e BTTC. | 2 e 由上题结论有 AT | 1 2 e | | 1 1 e e | 2 2 1 e e e + + | | 2112 eeee+ 21 ee+ . 3. 用矢量法证明：PABC充要条件是 图 1-9 是重心的 PC0 ? . PA+PB+ 证明： “”P的重心，则 若为ABC CP2PAPEP +B, 从而 PA+PBCP=0 ? , 即 PA+PBPC=0 ? . “” 若 PA+PBPC=0 ? , PCCP, PA+PB则 取 E，G 分别为 ABF，BC，CA 之中点，则有 PE 1 (+PA 2 PB ). 从而CP2PE. PG, BP2AP2PF.故 P同理可 证为ABC 的重心. 4. 证明三个矢量a ? 1 e3+ 2 e+2 3 e, b ? ，c ? 4 1 e6 2 e+2 3 e+12 2 e3 1 e11 3 e共面， 其中a能否用b, ? c性示如能表，写出线表示关系式. 线表？示性 1 e 2 e, 3 e不共面，即它们线性无关. 证明：由于矢量, 考表式虑达 a+b+v ? c0 ? ，即 (+3 2 e6 2 e+12 2 e 1 e+2 3 e)+ (4 1 e+2 3 e)+v (3 1 e11 3 e), 或 (+43v) 0 ? 0 ? . 1 e+(3612v) 2 e+(2+211v) 3 e 1 e, 2 e, 3 e由于线性无关，故有 解得 10，1，v2. 0，所以 =+ = =+ . 01122 , 0 , 034 v v v 1263 + a ? 由于 10能用b ? ,c ? 线性表示 b ? a ? 5 1 c ? . 1 10 是三个两两不共线的矢量，且OCOBOA, OCOA+OB5. 如图 1-10，试证 A, B, C 三点共线 证明： “B共线，从而有 的充要条件是+1. 图 1-10 ”因为 A， ，C CB, AC/ CB,AC且有1, 使mm OCm (OBOCOA), OBOCOAm(1+m), OC m+1 1 OA m m OB. +1 但已知OCOAO, OBOAB. 由OC对 分解的唯一性可得 m+1 1 , m m + 从而 1 m m + m+1 1 + + 1 1 设 . “ +1. 则有OCOB(1)OB OAOA” OB=OB+(OA), OCOBOB(OA), 所以 BCBA, BC/BA. 从而 故 A，B，C 三点共线. 1.5 标架与坐标标架与坐标 1. 在空间直角坐标系O;kji ? ,下，求 P(2,3,1)，M(a, b, c)关于 (的坐标. 解： 称点坐标为(a,b, c)， cx坐标为(a,b,c)， , , b( 类似考虑 P 1)即可. 2. 已知矢量 1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点 M (a, b, c)关于 xOy 平面的对称点坐标为(a, b, c)， M (a, b, c)关于 yOz 平面的对称点坐标为(a, b, c)， M (a, b, c)关于 xOz 平面的对 M (a, b, )关于轴平面的对称点 M (a b, c)关于 y 轴的对称点的坐标为(a, b,c)， M (a, c)关于 z 轴的对称点的坐标为 a,b, c). (2,3， a, b, c的分量如下： ab0, 2, c1, 2, 1； (1) 0, 1, 2，4 ， (2) a1, 2, 3，b2, 1, 0，c0, 5, 6. 试判别它？c表成a，b的线性组合？表示们是否共面能否将若能，写出表示式. 解:(1) 因为 121 420 210 cab, 0,所以 , 三矢量共面, 又因为a, b的对应坐标成比例，即a/b，但ca， c成a, b的线性组合. 故不能将表 321 a, b, c三矢量共面. 0120,所以 (2) 因为 650 a, b的对应坐标不成比例，即ab又因为 ， 故可以将c表成a, b的线性组合. 设 +, 亦即0, 5, 61, 2, 3+2, 1, 0 a ? b ? c 从而 = = . 63 , 02 =+, 02 解得 2，1, b ? 所以 2a c ? . 3.证明： 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点， 且这点到顶点的距离是它到对面重 心距把交点坐标表示出来. 证明：设四面体 A1A2 4,Ai对面重心为 Gi, 欲证 AiGi交于一点(i 2, 3, 4). 在 AiGi上取一点 P 离的三倍. 用四面体的顶点坐标 A3A1, 31 3 + + ii OGOA iiP A3 iiG P, 从而 i OP i，使 ， 设 Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，则 + 3 , 3 , 3 432432432 zzzyyyxxx G1, + 3 , 3 , 3 431431431 zzzyyyxxx G2 , G3 + 3 , 3 , 3 421421421 zzzyyyxxx , G4 + 3 , 3 , 3 3213 x 32121 zzzyyyxx , 所以 P1( 31 3 3 432 1 +