1第第 3 3 讲讲 圆的方程圆的方程板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 圆的定义、方程1.在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆2.确定一个圆的基本要素是：圆心和半径3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)4.圆的一般方程(1)一般方程：x2y2DxEyF0；(2)方程表示圆的充要条件为：D2E24F0；(3)圆心坐标，半径r.(D 2，E 2)1 2D2E24F考点 2 点与圆的位置关系1.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系2.三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离(1)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr；(2)(x0a)2(y0b)2r2点在圆外dr；(3)(x0a)2(y0b)20)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，其中r为定值，a，b是参数3.圆的直径端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.考点自测 1.判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆( )(3)方程x22axy20 一定表示圆( )(4)方程x2Bxyy2DxEyF0 表示圆的充要条件是B0，D2E24F0.( )(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0 外，则xyDx0Ey0F0.( )2 02 0答案 (1) (2) (3) (4) (5)2.教材习题改编圆x2y24x6y0 的圆心坐标是( )A.(2,3) B(2,3)C.(2，3) D(2，3)答案 D解析 由(x2)2(y3)213，知圆心坐标为(2，3).3.圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A.x2y210y0 Bx2y210y0C.x2y210x0 Dx2y210x0答案 B解析 设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.4.2016北京高考圆(x1)2y22 的圆心到直线yx3 的距离为( )A.1 B2 C. D222答案 C解析 由题知圆心坐标为(1,0)，将直线yx3 化成一般形式为xy30，故圆心到直线的距离d.故选 C.|103|121225.课本改编方程x2y24mx2y5m0 表示圆的充要条件是( )3A. 11 41 4C.m11 4答案 B解析 由(4m)2445m0，得m1.1 46.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_答案 (x2)2y210解析 依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，把所给两点坐标代入方程，得Error!解得Error!所以所求圆的方程为(x2)2y210.板块二 典例探究考向突破考向 确定圆的方程 例 1 (1)2018承德模拟圆心在直线x2y30 上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_答案 (x1)2(y2)210解析 设点C为圆心，因为点C在直线x2y30 上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即2a322a32，解得a2，2a322a52所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.10所求圆的方程为(x1)2(y2)210.(2)2016天津高考已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且5圆心到直线 2xy0 的距离为，则圆C的方程为_455 答案 (x2)2y29解析 设圆C的方程为(xa)2y2r2(a0)，由题意可得Error!解得Error!所以圆C的方程为(x2)2y29.触类旁通1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程2.用几何法求圆的方程利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形4结合思想的运用.【变式训练 1】 2015全国卷过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|( )A.2 B8 C4 D1066答案 C解析 设圆的方程为x2y2DxEyF0，将点A，B，C代入，得Error!解得Error!则圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y24y200，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y24y200 的两根，由根与系数的关系，得y1y24，y1y220，故|MN|y1y2|4.y1y224y1y216806考向 与圆有关的对称问题命题角度 1 两圆相互对称 例 2 圆(x2)2y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为_答案 (x2)2y25解析 因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25 的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.5命题角度 2 圆自身对称例 3 若圆(x1)2(y3)29 上的相异两点P，Q关于直线kx2y40 对称，则k的值为_答案 2解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴已知圆的圆心为(1,3)，由题设知，直线kx2y40 过圆心，则k(1)2340，解得k2.触类旁通对称圆的半径不变，圆的对称问题实际上是点的对称问题，求解过程中最重要的就是确定圆心掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，此类问题往往与直线的位置关系综合命题.考向 与圆有关的最值 命题角度 1 距离型最值例 4 2018沈阳模拟已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为( )A. B. C. D.4 52 52 55105答案 A解析 (x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可得点P在直线l：x2y50 上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，5即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2 .故选 A.|12 15|1222 554 5命题角度 2 建立目标函数求最值问题例 5 已知圆C：(x3)2(y4)21 和两点A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为( )A.7 B6 C5 D4答案 B解析 解法一：由(x3)2(y4)21，知圆上点P(x0，y0)可化为Error!APB90，即0，(x0m)(x0m)y0，APBP2 0m2xy266cos8sin2 02 02610sin()36，(其中tan3 4)00)，m|OP|OC|r，C(3,4)，r1，|OP|6，即m6.故选 B.触类旁通与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；yb xa形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.考向 与圆有关的轨迹问题例 6 已知圆x2y24 上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在 RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，6所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.触类旁通与圆有关的轨迹问题的求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式注：本章第 8 讲有详细讲解.【变式训练 2】 全国卷已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解 (1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为 4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)CMMP由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.CMMP所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O2在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为 3，所以l的斜率为 ，1 3故l的方程为yx .1 38 3又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM的面积为.24 1054 10516 5核心规律1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件 “选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算满分策略1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求，是求轨迹方程还是求轨迹7板块三 启智培优破译高考创新交汇系列 6圆与线性规划的交汇问题如果点P在平面区域Error!Error!上，点Q在圆x2(y2)21 上，那么|PQ|的最小值为_解题视点 此类题目是线性规划与圆结合的问题，关键是画好区域理解问题的几何意义，运用数形结合思想解析 由点P在平面区域Error!Error!上，画