1第第 1919 讲讲 三角函数的图象三角函数的图象与性质与性质考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，62017北京卷，162017天津卷，72016四川卷，42016山东卷，71.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性( 2，2)3了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响4体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.分值：512分1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用2三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性3高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，属于中低档题4以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合.21 “五点法”作图的原理在确定正弦函数ysin x在0,2上的图象形状时，起关键作用的五个点是_(0,0)_，_，_(，0)_，_，_(2，0)_.( 2，1)(3 2，1)2三角函数的图象和性质函数性质 ysin xycos xytan x定义域R RR R_x_|xk2，k Z Z图象值域_1,1_1,1_R R_对称性对称轴：_xk(kZ Z)_；对称中心： 2_(k，0)(kZ Z)_对称轴：_xk(kZ Z)_；对称中心：_(kZ Z(k 2，0)_对称中心： (kZ Z)_(k 2，0)周期_2_2_单调性在_( 22k，22k)kZ Z)_上单调递增；在_( 22k，322k)(kZ Z)_上单调递减在_(2k，2k)(kZ Z)_上单调递增；在_(2k，2k)(kZ Z)_上单调递减在_(kZ Z( 2k，2k)_上单调递增奇_奇函数_偶函数_奇函数_3偶性3用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x_ _ 2_ 3 2_ _2 x_0_ 2_3 2_2_yAsin(x)0A0A04函数ysin x的图象变换为yAsin(x)的图象的步骤5函数yAsin(x)的有关概念及物理量振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动量时)_A_T_2 f_ 2_x_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)把ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应的函1 24数解析式为ysinx.( )1 2(2)正弦函数ysin x的图象在0,2上的五个关键点是(0,0)，(，0)，( 2，1)，(2，0)( )(3 2，1)(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致( )(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的( )解析 (1)错误横坐标缩短，周期变小，变大，故变换后，所得图象的解析式为ysin 2x.(2)正确由正弦函数ysin x的图象易知(3)错误 “先平移，后伸缩”的平移单位长度为 |，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为(0)故当1 时平移的长度不相等| (4)正确振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的， 其中A. Mm 22y2sin的振幅、频率和初相分别为( A A )(2x 4)A2， ， B2，1 41 2 4C2， ， D2，1 81 2 8解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为 2，周期为(2x 4)，频率为，初相为.1 43(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为( C C )(2x 3)A4 B2 C D 2解析 依题意得，函数f(x)sin的最小正周期T.故选 C (2x 3)2 24将函数ysin的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象的对称轴(2x 6) 4是( B B )5Ax，kZ Z Bx，kZ Zk 25 6k 25 12Cx，kZ Z Dxk，kZ Zk 2 6 12解析 ysin的图象向右平移个单位长度，得ysinsin(2x 6) 42(x 4) 6.令 2xk，kZ Z，得x，kZ Z.(2x 3) 3 25 12k 25已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则_ _.3 2解析 由题图知， ，T，即，故 .T 42 3 3 34 32 4 33 2一 三角函数图象的变换三角函数图象的两种变换(1)平移变换沿x轴平移：由yf(x)变为yf(x)时， “左加右减” ，即0，左移；0，上移；k 0，20，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.Mm 2Mm 2(2)求：确定函数的周期T，则可得.2 T(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点是在上升区间还是在下降区间)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四 2点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.3 2【例 2】 (1)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所( 0，20，0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( C C )AA3，T，BA1，T，4 3 64 33 4CA1，T，DA1，T，4 33 44 3 6解析 (1)因为 ，所以T.T 211 125 12又T(0)，所以，所以2.2 2 又 22k(kZ Z)，且0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0)的最小正周期为 .(x 4)(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性0， 2解析 (1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(x 4)22(sin 2xcos 2x)2sin.22(2x 4)2因为f(x)的最小正周期为 ，且0，所以，故1.2 2(2)由(1)知f(x)2sin.(2x 4)2若 0x，则2x. 2 4 45 4当2x0，0，R R)，则“f(x)是奇函数”是“”的( B B ) 2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是( C C )(x 4)Ax Bx 4 2Cx Dx 4 2(3)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_. 6，2( 2)(2 3)( 6)解析 (1)f(x)是奇函数时，k(kZ Z)；时，f(x) 2 2AcosAsin x，为奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不(x 2) 2充分条件(2)正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ Z，xk，kZ Z. 4 23 4取k1，则x. 4(3)记f(x)的最小正周期为T.由题意知 .T 2 2 6 3又fff，且.( 2)(2 3)( 6)2 3 2 6可作出示意图如图所示(一种情况)x1 ，x2 ，( 26)1 2 3( 223)1 27 12 x2x1.T.T 47 12 3 4111把函数ysin的图象上所有点向右平移个单位长度，再将所得图象的横(x 3) 3坐标变为原来的 (纵坐标不变)，所得图象的解析式是ysin(x)(0，| 0)_2_，_. 612解析 T，2.由图象得 22k(kZ Z)，11 12( 12)2 T11 122k，kZ Z.|，k1 时，.11 6 2 64设x，函数y4sin2x12sin x1 的最大值为a，最小值为b，则 6，23ab_3_.解析 令tsin x，由于x，故t， 6，231 2，1则y4t212t14210.(t3 2)因为当t时，函数单调递减，1 2，1所以当t ，即x时，y取得最大值，ymax6；1 2 6当t1，即x时，y取得最小值，ymin9. 2a6，b9，ab3.易错点 忽略正、余弦函数的有界性错因分析：忽略了 sin ，cos 的值必须在1,1内【例 1】 已知 sin xsin y ，求 sin xcos2y的最大值、最小值1 3解析 令tsin xcos2y.sin x sin y，1 3t sin y1sin2y2.1 3(sin y1 2)11 12Error! sin y1，2 3于是，当 sin y 时，tmin；1 211 1213当 sin y 时，tmax .2 34 9【跟踪训练 1】 (2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为( B B )( 2x)A4 B5 C6 D7解析 f(x)12sin2x6sin x22，又因为1sin x1，所以(sin x3 2)11 2当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B课时达标课时达标 第第 1919 讲讲解密考纲本考点考查三角函数的图象、图象的变换以及三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前的位置，题目难度中等一、选择题1函数y的定义域为( C C )cos x32AB(kZ Z) 6，6k 6，k6C(kZ Z)DR R2k 6，2k