1课时达标课时达标 第第 3434 讲讲 基本不等式基本不等式解密考纲考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现，或在解答题中作为工具使用一、选择题1已知f(x)x 2(x0，则下列不等式中，恒成立的是( C C )Aab2B ab1 a1 b1abC 2Da2b22abb aa b解析 ab0， 0， 0， 22，当且仅当ab时取等号b aa bb aa bb aa b3若a0，b0，且a(a2b)4，则ab的最小值为( C C )A B4 C2 D222解析 a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，当且仅当aa2b2 时等号成立aa2b2 4(ab)24，ab2.4函数y(x1)的最小值是( A A )x22 x1A22 B22C2 D2333解析 x1，x10.yx22 x1x22x2x2 x1x22x12x13 x1x12x122x13 x13 x12222.x1(3 x1)3当且仅当x1，即x1时，取等号3 x1325若正数a，b满足ab2，则的最小值是( B B )1 a14 b1A1 B C9 D169 4解析 1 a14 b1(1 a14 b1)a1b1 41 4 (52) ，当且仅当，即b12(a1)14b1 a14a1 b11 449 4b1 a14a1 b1时取等号故选 B6小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a0)图象上的点，则xy的最小值为 2 .2 x2解析 因为x0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，当且仅当xy2xy时等号成立8(2017山东卷)若直线 1(a0，b0)过点(1,2)，则 2ab的最小值为x ay b_8_.解析 直线 1(a0，b0)过点(1,2)， 1.又x ay b1 a2 ba0，b0，2ab(2ab)4 428，当且仅当 ，即(1 a2 b)b a4a bb a4a bb a4a ba2，b4 时等号成立，2ab的最小值为 8.9已知x，y为正实数，3x2y10，则的最大值为 2 .3x2y5解析 由，得2ab 2a2b2 23x2y2 3x2 2y223x2y，53当且仅当x ，y 时取等号5 35 2三、解答题10设a，b，c均为正数，且abc1，证明：1.a2 bb2 cc2 a证明 因为b2a，c2b，a2c，a2 bb2 cc2 a故(abc)2(abc)，a2 bb2 cc2 a即abc，所以1.a2 bb2 cc2 aa2 bb2 cc2 a11已知x0，y0，且 2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析 (1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，16xyxy(8)0，又0，xyxyxy8，即xy64.xy当且仅当x4y，即 8y8y4y20，即y4，x16 时取等号，xy的最小值为 64.(2)2x8yxy0， 1，2 y8 xxy(xy)(2 y8 x)1010218.2x y8y x2x y8yx当且仅当，即x2y，即 4y8y2y20，2x y8y x即y6，x12 时取等号，xy的最小值为 18.12某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？4解析 (1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1，240 x所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.(240 x1)240 x96 000 x因为x表示相邻两增压站之间的距离，则 0x240.故y与x的函数关系为y240x160(0x240)96 000 x(2)y240x160216024 8001609 440，96 000 x96 000 x240x当且仅当240x，即x20 时等号成立，96 000 x此时k1111.240 x240 20故需要修建 11 个增压站才能使y最小，其最小值为 9 440 万元