1第第 5858 讲讲 参数方程参数方程考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，222016全国卷，232016江苏卷，21(C)1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程分值：510 分参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_任意一点_的坐标x，y都是某个变数t的函数：Error!并且对于t的每一个允许值，由方程组Error!所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称_参数_，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_普通方程_.2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为Error!(t为参数)(2)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为Error!(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为Error!(为参数)；x2 a2y2 b22椭圆1(ab0)的参数方程为Error!(为参数)x2 b2y2 a21思维辨析(在括号内“”或“”)(1)参数方程Error!(t1)表示直线( )(2)参数方程Error!当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆( )(3)直线Error! (t为参数)的倾斜角为 30.( )(4)参数方程Error!表示的曲线为椭圆( )(为参数，且0， 2)解析 (1)错误t1，xt12，y2t1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分(2)正确当m为参数时，xycos sin 表示直线，当为参数时(xm)2(ym)21 表示圆(3)正确方程可化为Error!表示直线其倾斜角为 30.(4)错误，x0，y0，方程不表示椭圆0， 22参数方程Error!(t为参数)化为普通方程为_3xy40(x0,2)_.解析 x，2t2 1t2y4343x，42t2 1t241t26t21t22t2 1t2又x20,2)，2t2 1t221t221t22 1t2x0,2)，所求的普通方程为 3xy40(x0,2)3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!和Error!(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_(2,1)_.(为参数，0 2)解析 由C1得x2y25，且Error!由C2得x1y，联立Error!解得Error!或Error!(舍)4直线Error!(t为参数)与圆Error!(为参数)相切，则切线的倾斜角为_ 或 32 3_.解析 直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即33|2ba04b|a2b23a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值 tan ，所以 tan 3b a3，因此切线的倾斜角为或.3 32 35在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：Error!(t为参数)与曲线C2：Error!(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_ _.3 2解析 将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解将Error!消去参数t，得 2xy30，又Error!消去参数，得1.x2 a2y2 9根据题意可知C1与x轴交点在C2上，则在方程 2xy30 中，令y0，得x .3 2将代入1，得1，又a0，a .(3 2，0)x2 a2y2 99 4a23 2一 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2cos21 等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解【例 1】 (1)将下列参数方程化为普通方程Error!(t为参数)；Error!(为参数)(2)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0 的参数方程解析 (1)221，x2y21.(1 t)(1 tt21)t210，t1 或t1.又x ，1 tx0.当t1 时，0x1，4当t1 时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中Error!或Error!y1cos 2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin2 1，2x3，所求的普通方程为 2xy40(2x3)(2)圆的半径为 ，记圆心为C，连接CP，则PCx2，1 2(1 2，0)故xP cos 2cos2 ，1 21 2yP sin 2sin cos (为参数)1 2所以圆的参数方程为Error!(为参数)二 参数方程的应用(1)圆的参数方程Error!(为参数)与直线的参数方程Error!(t的参数)在外观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么另外，圆的参数和直线的参数t是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程因此，牢记圆的参数方程，直线参数方程的标准式，是利用参数解决问题的关键(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等(3)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.弦长l|t1t2|；M0为弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|.【例 2】 已知曲线C1：Error!(为参数)及曲线C2：Error!(t为参数)(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2，写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由解析 (1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0,0)，半径r1.C2的普通方程为xy0.2因为圆心到直线xy0 的距离为 1，2所以C1与C2只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为5C1：Error!(为参数)，C2：Error!(t为参数)化为普通方程为C1：x24y21，C2：yx，1 222联立消元得 2x22x10，其(2)24210，22故压缩后C1与C2仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同 【例 3】 (2018河南郑州一中月考)在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为Error!(为参数)，直线l的参数方程为Error!(t为参数)(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若点B坐标为(0,3)，直线l与曲线C交于两P，Q点，求|BP|BQ|.解析 (1)由题意得曲线C的普通方程为1, 直线l的普通方程为x2 4y2 32xy30.(2)将直线l的参数方程Error!(t为参数)代入1，得t2t240.设方x2 4y2 319 5485程t2t240 的两个根为t1，t2，所以|BP|BQ|t1t2|.19 5485120 19三 参数方程与极坐标方程的综合问题涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程【例 4】 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：sin22acos (a0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为Error!(t为参数)，l与C分别交于点M，N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；(2)若，成等比数列，求a的值|PM| |MN|PN|解析 (1)曲线C的直角坐标方程为y22ax(a0)，直线l的普通方程为xy20.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理，得t22(4a)t8(4a)0，(*)28a(4a)0，设点M，N分别对应参数t1，t2，则t1，t2恰为上述方程的两根，则|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2|.由题设得(t1t2)2|t1t2|，即(t1t2)24t1t2|t1t2|.由(*)得t1t22(4a)，t1t28(4a)0，2则有(4a)25(4a)0，得a1 或a4.因为a0，所以a1. 1将下列参数方程化为普通方程6(1)Error!(k为参数)；(2)Error!(为参数)解析 (1)两式相除，得k，将其代入x，得x，化简得所求的y 2x3k 1k23y 2x1(y 2x)2普通方程是 4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,22设直线l的参数方程为Error!(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为Error!(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解析 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k .5 2(2)由圆C的参数方程Error!得圆C的圆心是C(1，1)，半径为 2.由直线l的参数方程为Error!(t为参数，为倾斜角)，知直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即2，由此解得k，即直线l的斜率的取值范围为.|52k|k2121 20(21 20，)3已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，曲线C的参数方程为Error!(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(4， 3)(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值解析 (1)点P的直角坐标为(2,2)，令Error!关于t的方程组无解，所以点P在直线3l外(2)直线l的普通方程为xy10，设Q(2cos ，sin )，点Q到直线l的3距离为d，则d，所以当| 32cos sin 1|2|sin( 3) 312|7sin1 时，dmin；( 3)2 312当 sin1 时，dmax.( 3)2 3324已知P(x，y)是圆x2y22y0 上的动点(1)求 2xy的取值范围；(2)若xyc0 恒成立，求实数c的取值范围解析 方程x2y22y0 变形为x2(y1)21，其参数方程为Error!(为参数)(1)2xy2co