1 课时达标课时达标 第第 6060 讲讲 不等式的证明不等式的证明 解密考纲不等式的证明以解答题进行考查，主要考查综合法、比较法，还常用基本 不等式证明不等式或求最值 1已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 证明证明 (a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2. 因为a，b都是正数，所以ab0. 又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20， 即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2. 2已知a，b，c都是正数，求证：abc. a2b2b2c2c2a2 abc 证明证明 因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc， 同理，b2(a2c2)2ab2c， c2(a2b2)2abc2， 相加得 2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2， 从而a2b2b2c2c2a2abc(abc) 由a，b，c都是正数，得abc0， 因此abc. a2b2b2c2c2a2 abc 3已知a，b，c(0，)，求证：23. ( ab 2 ab) ( abc 3 3abc) 证明证明 欲证 23， ( ab 2 ab) ( abc 3 3abc) 只需证ab2abc3， ab 3 abc 即证c23，a，b，c(0，)， ab 3 abc c2c33， ababab 3 cabab 3 abc c23成立，故原不等式成立 ab 3 abc 4设a，b为正实数，且 2. 1 a 1 b2 (1)求a2b2的最小值； (2)若(ab)24(ab)3，求ab的值 解析 (1)由 2 2，得ab ，当ab时取等号故 2 1 a 1 b 1 ab 1 2 2 2 a2b22ab1，当ab时取等号 2 2 所以a2b2的最小值是 1. 2 (2)由(ab)24(ab)3，得 24ab，即2 ( 1 a 1 b) ( 1 a 1 b) 4ab，从而ab2. 4 ab 1 ab 又a，b为正实数，所以ab2，所以ab2， 1 ab 1 ab 所以ab1. 5已知函数f(x)|x|2x1|，记f(x)1 的解集为M. (1)求M； (2)已知aM，比较a2a1 与 的大小 1 a 解析 (1)f(x)|x|2x1|Error! 由f(x)1， 得Error!或Error!或Error! 解得 00，所以a2a1 . a1a21 a 1 a 综上所述，当 0 . 1 a 6已知a，b，c0，abc1.求证： (1)； abc3 (2) . 1 3a1 1 3b1 1 3c1 3 2 证明证明 (1)由柯西不等式得()2(111) abcabc 2(121212)( )2()2()23， abc 当且仅当，即abc 时，等号成立， 1 a 1 b 1 c 1 3 3 . abc3 (2)由柯西不等式得 (3a1)(3b1)(3c1) ( 1 3a1 1 3b1 1 3c1) 29(当且仅当abc 时取 ( 3a1 1 3a1 3b1 1 3b1 3c1 1 3c1) 1 3 等号)， 又abc1，69， ( 1 3a1 1 3b1 1 3c1) . 1 3a1 1 3b1 1 3c1 3 2